Forme quadratiche definite
Chiedo in anticipo scusa per la lunghezza del testo trascritto ma era necessario affinché capiste il problema:
Forme quadratiche definite
Definizione: "La matrice $ A $ si dice definita positiva se si ha $ sum_{i,j}^{1,..,n}A_{ij}x^ix^j>0 $ per $ forallx^i!=0^i $".
Teorema: "Sia $ H_p $ il minore che si ottiene da $ A $ cancellando le sue ultime $ n-p $ righe e le sue ultime $ n-p $ colonne. Si ha che $ A $ è definita positiva se e solo se $ H_p>0 $ per $ forallp=1,2,..,n $.
Dimostriamo il teorema per induzione su $ n $. Esso è vero per $ n=1 $. Supponiamo che sia vero per $ n-1 $ variabili e dimostriamolo valido nel caso di $ n $ variabili.
Se $ A_11<=0 $ allora per $ x^1=1 $, $ x^2=0 $,.., $ x^n=0 $ si ha $ A_{ij}x^ix^j=A_{11}<=0 $ per cui $ A $ non è definita positiva.
Se $ A_{11}>0 $ allora si ha
$ sum_{i,j}^{1,..,n}A_{ij}x^ix^j=sum_{i,j}^{2,..,n}A_{ij}x^ix^j+2sum_i^{2,..,n}A_{1i}x^ix^1+A_{11}(x^1)^2=A_{11}(x^1+sum_i^{2,..,n}(A_{1i})/(A_{11})x^i)^2+sum_{i,j}^{2,..,n}A_{ij}x^ix^j-1/(A_{11})(sum_i^{2,..,n}A_{1i}x^i)(sum_j^{2,..,n}A_{1j}x^j)= $ $ =A_{11}(x^1+sum_i^{2,..,n}(A_{1i})/(A_{11})x^i)^2+sum_{ij}^{2,..,n}B_{ij}x^ix^j $ con $ B_{ij}=A_{ij}-1/(A_{11})A_{1i}A_{1j} $
Notiamo che $ A_{ij} $ è definita positiva se e solo se lo è $ B_{ij} $. Infatti, se $ B_{ij} $ non è definita positiva, allora $ EEx^2,...,x^n $ non tutti nulli per cui $ B_{ij}x^ix^j<=0 $. Preso allora $ x^1=-1/(A_{11})sum_i^{2,..,n}A_{1i}x^i $, avrò $ A_{ij}x^ix^j<=0 $ contro il fatto che $ A_{ij} $ è definita positiva. Se invece $ B_{ij} $ è definita positiva, si ha $ A_{ij}x^ix^j>=0 $ ed è $ A_{ij}x^ix^j=0 $ se e solo se $ x^1+sum_i^{2,..,n}(A_{1j})/(A_{11})x^i=0 $, $ x^2=0 $,..., $ x^n=0 $ da cui segue che $ A_{ij} $ è definita positiva".
Quanto riportato sopra è una parte di una delle slide che il professore ci ha consegnato, che mi ha creato più di qualche grattacapo. In modo particolare non mi è chiara la parte che và da "Notiamo che $ A_{ij} $ è definita positiva se..." sino alla fine.
Se qualcuno potesse avere la pazienza di aiutarmi gliene sarei molto grato
Forme quadratiche definite
Definizione: "La matrice $ A $ si dice definita positiva se si ha $ sum_{i,j}^{1,..,n}A_{ij}x^ix^j>0 $ per $ forallx^i!=0^i $".
Teorema: "Sia $ H_p $ il minore che si ottiene da $ A $ cancellando le sue ultime $ n-p $ righe e le sue ultime $ n-p $ colonne. Si ha che $ A $ è definita positiva se e solo se $ H_p>0 $ per $ forallp=1,2,..,n $.
Dimostriamo il teorema per induzione su $ n $. Esso è vero per $ n=1 $. Supponiamo che sia vero per $ n-1 $ variabili e dimostriamolo valido nel caso di $ n $ variabili.
Se $ A_11<=0 $ allora per $ x^1=1 $, $ x^2=0 $,.., $ x^n=0 $ si ha $ A_{ij}x^ix^j=A_{11}<=0 $ per cui $ A $ non è definita positiva.
Se $ A_{11}>0 $ allora si ha
$ sum_{i,j}^{1,..,n}A_{ij}x^ix^j=sum_{i,j}^{2,..,n}A_{ij}x^ix^j+2sum_i^{2,..,n}A_{1i}x^ix^1+A_{11}(x^1)^2=A_{11}(x^1+sum_i^{2,..,n}(A_{1i})/(A_{11})x^i)^2+sum_{i,j}^{2,..,n}A_{ij}x^ix^j-1/(A_{11})(sum_i^{2,..,n}A_{1i}x^i)(sum_j^{2,..,n}A_{1j}x^j)= $ $ =A_{11}(x^1+sum_i^{2,..,n}(A_{1i})/(A_{11})x^i)^2+sum_{ij}^{2,..,n}B_{ij}x^ix^j $ con $ B_{ij}=A_{ij}-1/(A_{11})A_{1i}A_{1j} $
Notiamo che $ A_{ij} $ è definita positiva se e solo se lo è $ B_{ij} $. Infatti, se $ B_{ij} $ non è definita positiva, allora $ EEx^2,...,x^n $ non tutti nulli per cui $ B_{ij}x^ix^j<=0 $. Preso allora $ x^1=-1/(A_{11})sum_i^{2,..,n}A_{1i}x^i $, avrò $ A_{ij}x^ix^j<=0 $ contro il fatto che $ A_{ij} $ è definita positiva. Se invece $ B_{ij} $ è definita positiva, si ha $ A_{ij}x^ix^j>=0 $ ed è $ A_{ij}x^ix^j=0 $ se e solo se $ x^1+sum_i^{2,..,n}(A_{1j})/(A_{11})x^i=0 $, $ x^2=0 $,..., $ x^n=0 $ da cui segue che $ A_{ij} $ è definita positiva".
Quanto riportato sopra è una parte di una delle slide che il professore ci ha consegnato, che mi ha creato più di qualche grattacapo. In modo particolare non mi è chiara la parte che và da "Notiamo che $ A_{ij} $ è definita positiva se..." sino alla fine.
Se qualcuno potesse avere la pazienza di aiutarmi gliene sarei molto grato
Risposte
Dovrei aver risolto. Grazie comunque
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