Forme quadratiche
ciao a tutti,sto studiando le applicazioni bilineari e non capisco la connessione in qualche caso con le forme quadratiche...in più ho trovato questa affermazione: "trattare le forme quadratiche reali e trattare le forme bilineari simmetriche (costruite mediante matrici simmetriche) corrisponde ad esaminare lo stesso oggetto da due punti di vista."
Quindi le app. bilineari simmetriche sono uguali alle app. quadratiche perchè entrambe rappresentate da matrici simmetriche??? che differenza c'è???
grazie in anticipo
Quindi le app. bilineari simmetriche sono uguali alle app. quadratiche perchè entrambe rappresentate da matrici simmetriche??? che differenza c'è???
grazie in anticipo
Risposte
pensa a come è definita una forma quadratica e ti renderai conto che i due concetti sono fortemente collegati.
una forma quadratica è un polinomio di grado 2 ed è un applicazione data da " x^t A x " con A matrice simmetrica... risulterà appunto un polinomio di grado 2 e quella funzione sarà la forma quadratica della matrice A giusto?
Quindi il collegamento tra le appl. bilineari simmetriche dov'è??? non lo capisco concettualmente... le appl. bilineari sono applicazioni definite su prodotti tra spazi vettoriali... simmetriche quando a(v,w)=a(w,v) giusto?
Altro dubbio: un'applicazione lineare associa un elemento di un insieme ad un altro elemento di un altro insieme, e l'applicazione inversa è l'operazione inversa,detta in parole povere.
La domanda è: nel caso delle applicazioni Bilineari che associano un prodotto tra vettori di un insieme A ad un elemento di un altro insieme B... cosa vuol dire?? l'elemento " prodotto tra due vettori" è uno scalare o semplicemente un altro vettore? quindi l'applicazione inversa che definisce l'elemento dell'insieme B a cosa porta nell'insieme A?
perdonate il linguaggio poco matematico ma è per capire il concetto di questo argomento
Quindi il collegamento tra le appl. bilineari simmetriche dov'è??? non lo capisco concettualmente... le appl. bilineari sono applicazioni definite su prodotti tra spazi vettoriali... simmetriche quando a(v,w)=a(w,v) giusto?
Altro dubbio: un'applicazione lineare associa un elemento di un insieme ad un altro elemento di un altro insieme, e l'applicazione inversa è l'operazione inversa,detta in parole povere.
La domanda è: nel caso delle applicazioni Bilineari che associano un prodotto tra vettori di un insieme A ad un elemento di un altro insieme B... cosa vuol dire?? l'elemento " prodotto tra due vettori" è uno scalare o semplicemente un altro vettore? quindi l'applicazione inversa che definisce l'elemento dell'insieme B a cosa porta nell'insieme A?
perdonate il linguaggio poco matematico ma è per capire il concetto di questo argomento
nessuno sa darmi una manooo???
Allora, se $b \in Bils(V)$ (forma bilineare simmetrica) , puoi definire un'applicazione $q : V -> \mathbb{K}$ t.c
$AA v \in V : q(v) = b(v,v)$. Tale $q$ prende il nome di forma quadratica. (per comodità prendiamo $K=RR$ oppure $K=C$ , o comunque di caratteristica diversa da 2)
Poiché vale la relazione che $AA u,v \in V : b(u,v)= 1/2[q(u+v)-q(v)-q(u)]$ (1) (si dimostra facilmente)
ci accorgiamo che $b$ è completamente determinata da $q$, cioé possiamo utilizzare la (1) per calcolare i valori di $b$.
In questi termini, studiare la forma quadratica è equivalente a studiare la forma bilineare simmetrica ad essa associata.
Esempio :
Prendi $V= RR^2$ e la forma bilineare simmetrica
$b((x_1,y_1).(x_2,y_2))=x_1y_2+y_1x_2$ (1)
studiare (1) è equivalente studiare la forma quadratica ad essa associata $q(x,y)=2xy$
$AA v \in V : q(v) = b(v,v)$. Tale $q$ prende il nome di forma quadratica. (per comodità prendiamo $K=RR$ oppure $K=C$ , o comunque di caratteristica diversa da 2)
Poiché vale la relazione che $AA u,v \in V : b(u,v)= 1/2[q(u+v)-q(v)-q(u)]$ (1) (si dimostra facilmente)
ci accorgiamo che $b$ è completamente determinata da $q$, cioé possiamo utilizzare la (1) per calcolare i valori di $b$.
In questi termini, studiare la forma quadratica è equivalente a studiare la forma bilineare simmetrica ad essa associata.
Esempio :
Prendi $V= RR^2$ e la forma bilineare simmetrica
$b((x_1,y_1).(x_2,y_2))=x_1y_2+y_1x_2$ (1)
studiare (1) è equivalente studiare la forma quadratica ad essa associata $q(x,y)=2xy$
ok,ho capito meglio la relazione e ti ringrazio. Comunque come dimostro la relazione tra 2xy e x1y2 + y1x2 matematicamente?
hai un esempio per spiegarmi anche cosa sono le applicazioni bilineari in concreto? perchè rischio di imparare le cose a memoria ma non mi serve a niente giusto? come ho scritto prima..
hai un esempio per spiegarmi anche cosa sono le applicazioni bilineari in concreto? perchè rischio di imparare le cose a memoria ma non mi serve a niente giusto? come ho scritto prima..
è proprio per definizione di forma quadratica! $q(v) := b(v,v)$.
Un esempio in concreto?
Considera $V_2$ lo spazio vettoriale dei vettori geometrici di dimensione 2. (i vettori ordinari insomma.) Ogni $v \in V_2$ si può scrivere come $v= ai + bj$ con $(a,b) \in RR^2$ (coppia di numeri reali).
$AA v_1 = a_1i+b_1j , v_2 = a_2i+b_2j$ considero l'applicazione
$p_s : V_3 \times V_3 -> RR$ t.c $p_s(v_1,v_2)= a_1*a_2 + b_1 *b_2$. Si verifica facilmente che $p_s$ è bilineare.
Quella $p_s$ , se la riconosci, è quella che si chiama prodotto scalare di vettori geometrici nel piano.
Un esempio in concreto?
Considera $V_2$ lo spazio vettoriale dei vettori geometrici di dimensione 2. (i vettori ordinari insomma.) Ogni $v \in V_2$ si può scrivere come $v= ai + bj$ con $(a,b) \in RR^2$ (coppia di numeri reali).
$AA v_1 = a_1i+b_1j , v_2 = a_2i+b_2j$ considero l'applicazione
$p_s : V_3 \times V_3 -> RR$ t.c $p_s(v_1,v_2)= a_1*a_2 + b_1 *b_2$. Si verifica facilmente che $p_s$ è bilineare.
Quella $p_s$ , se la riconosci, è quella che si chiama prodotto scalare di vettori geometrici nel piano.
ok,infatti il prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica su uno spazio vettoriale. (lo sto studiando ora)
l'applicazione si verifica con le proprietà g(sv+uv,w)=sg(v,w)+ug(v,w)... giusto?
Il prodotto scalare si può dire che è un sottoinsieme delle applicazioni bilineari simmetriche? oppure il prodotto scalare è l'operazione in se delle applicazioni bili. simmetriche?
l'applicazione si verifica con le proprietà g(sv+uv,w)=sg(v,w)+ug(v,w)... giusto?
Il prodotto scalare si può dire che è un sottoinsieme delle applicazioni bilineari simmetriche? oppure il prodotto scalare è l'operazione in se delle applicazioni bili. simmetriche?
il prodotto scalare è una f.b.s definita positiva.
L'insieme dei prodotti scalari è contenuto in quello delle forme bilineari simmetriche su $V$.
Non capisco che vuoi dire con l'ultima domanda.
L'insieme dei prodotti scalari è contenuto in quello delle forme bilineari simmetriche su $V$.
Non capisco che vuoi dire con l'ultima domanda.
intendevo come la somma è una operazione tra i numeri... il prodotto scalare fosse una operazione tra le appl. bil. simm... cmq ora è più chiaro.
un' ultima cosa: siccome sto studiando appunto il prodotto scalare,vettori isotropi ecc... su wikipedia c'è un esempio di un vettore isotropo [1,1] rispetto ad una matrice A 2*2 che non è contenuto comunquenel radicale...ma il vettore isotropo è quando g(v,v)=0? in questo caso non mi torna, g(1,1)=2 ?? come influisce la matrice A?
un' ultima cosa: siccome sto studiando appunto il prodotto scalare,vettori isotropi ecc... su wikipedia c'è un esempio di un vettore isotropo [1,1] rispetto ad una matrice A 2*2 che non è contenuto comunquenel radicale...ma il vettore isotropo è quando g(v,v)=0? in questo caso non mi torna, g(1,1)=2 ?? come influisce la matrice A?
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