Forme lineari

[zipangulu]

Ho un attimo di sbandamento totale,ho il seguente esempio:
nello spazio vettoriale $R^2$,siano $E$ la base così costituita
$E={(1,1),(-1,1)}$
e $f:R^2->R^2$ la forma lineare definita da
$f(x,y)=x-y$
allora le coordinate $alpha_1,alpha_2$ di un qualsiasi vettore $(x,y)$ sulla base $E$ sono:
$alpha_1=(x+y)/2$
$alpha_2=(x-y)/2$
ma $alpha_2$ così come ha scritto il libro non è sbagliato?
perchè facendo:
$(x,y)=alpha_1(1,1)+alpha_2(-1,1)$
da cui il sistema associato:
${(alpha_1-alpha_2=x),(alpha_1+alpha_2=y):}$
si ottiene che:
${(alpha_1=(x+y)/2),(alpha_2=(y-x)/2):}$
ho sbagliato io o il libro?
so che sono cose banali ma sono in un momento di confusione totale e quindi ad ogni divergenza col libro non essendo sicuro mi pongo il dubbio che abbia sbagliato io(e magari in questa occasione sono veramente io in errore)

[cirasa]

Vediamo se ha ragione il tuo libro:
$(1,0)$ ha coordinate $alpha_1=1/2$ e $alpha_2=1/2$ rispetto a ${(1,1),(-1,1)}$?
$1/2 (1,1)+1/2 (-1,1)=(0,1)$.
No. Già questo basta a dire che il tuo libro ha torto.

Vediamo se hai ragione tu:
* $(1,0)$ ha coordinate $alpha_1=1/2$ e $alpha_2=-1/2$ rispetto a ${(1,1),(-1,1)}$?
$1/2 (1,1)-1/2 (-1,1)=(1,0)$. Ok.
* $(0,1)$ ha coordinate $alpha_1=1/2$ e $alpha_2=1/2$ rispetto a ${(1,1),(-1,1)}$?
$1/2 (1,1)+1/2 (-1,1)=(0,1)$. Ok.

Hai ragione tu.