Forme fondamentali

[aram1]

sapreste indicarmi qual è il significato geometrico della prima e della seconda forma fondamentale??

[ciampax]

In maniera molto semplice, la prima forma fondamentale rappresenta il tensore metrico della superficie, la seconda invece fornisce le informazioni (intrinseche) sulla curvatura e la torsione della stessa. In pratica, la prima forma fondamentale permette di calcolare le distanze ed effettuare le misure sulla superficie, la seconda fornisce invece le proprietà intrinseche geometriche della superficie.

[vict85]

"ciampax":In maniera molto semplice, la prima forma fondamentale rappresenta il tensore metrico della superficie, la seconda invece fornisce le informazioni (intrinseche) sulla curvatura e la torsione della stessa. In pratica, la prima forma fondamentale permette di calcolare le distanze ed effettuare le misure sulla superficie, la seconda fornisce invece le proprietà intrinseche geometriche della superficie.

sarò sincero... Secondo me se non ha capito cosa solo le due forme fondamentali dubito che abbia capito il tuo messaggio. Ma d'altra parte è difficile spiegarlo in modo sintetico.

X Aram: esattamente che intendi per significato geometrico. Che ne so cosa risponderesti se ti chiedessi il significato geometrico del prodotto scalare?

[ciampax]

"vict85":[quote="ciampax"]In maniera molto semplice, la prima forma fondamentale rappresenta il tensore metrico della superficie, la seconda invece fornisce le informazioni (intrinseche) sulla curvatura e la torsione della stessa. In pratica, la prima forma fondamentale permette di calcolare le distanze ed effettuare le misure sulla superficie, la seconda fornisce invece le proprietà intrinseche geometriche della superficie.

sarò sincero... Secondo me se non ha capito cosa solo le due forme fondamentali dubito che abbia capito il tuo messaggio. Ma d'altra parte è difficile spiegarlo in modo sintetico.

X Aram: esattamente che intendi per significato geometrico. Che ne so cosa risponderesti se ti chiedessi il significato geometrico del prodotto scalare?[/quote]

Ma perché, secondo te gli si può dare una risposta sintetica?

[aram1]

Per significato geometrico intendo cosa mi rappresentano in concreto. Il prodotto scalare ad esempio è l'area del parallelogramma individuato dai due vettori... Inoltre mi chiedevo riguardo alla prima forma: essa si indica con Ip(w) e viene calcolata nel vettore w, appartenente al piano tangente e rappresenta la sua norma al quadrato,giusto? tale vettore identifica il punto p, o altrimenti in che relazione stanno p e il vettore w? Grazie

[vict85]

Esistono altri modi per vedere il prodotto scalare, te l'ho chiesto per vedere quello che preferivi :p. Se la superficie si immerge in \(\mathbb{R}^3\) La prima forma differenziale è praticamente la norma (al quadrato) associata al prodotto interno indotto dal prodotto scalare sullo spazio tangente. In pratica tu hai una base dello spazio tangente \(\{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\}\) dove \(\mathbf{x}\) è una parametrizzazione dello spazio. Ora i vettori \(\{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\}\) possono essere "visti" come appartenenti a \(\mathbb{R}^3\). Quindi il prodotto scalare tra due vettori \( \mathbf{w} = w_1\mathbf{x}_u + w_2\mathbf{x}_v\) e \(\mathbf{w} = w'_1\mathbf{x}_u + w'_2\mathbf{x}_v \) appartenenti allo spazio quoziente è uguale a \( \mathbf{w} \cdot \mathbf{w}' = (w_1\mathbf{x}_u + w_2\mathbf{x}_v)\cdot (w'_1\mathbf{x}_u + w'_2\mathbf{x}_v) = w_1w'_1( \mathbf{w}_u \cdot \mathbf{w}_u) + (w_1w'_2 + w_2w'_1)( \mathbf{w}_u \cdot \mathbf{w}_v) + w_2w'_2( \mathbf{w}_v \cdot \mathbf{w}_v) \) dove quest'ultima deriva dalla bilinearità e commutatività del prodotto scalare. Si tenga conto che \(E = \mathbf{w}_u \cdot \mathbf{w}_u\), \(F=\mathbf{w}_u \cdot \mathbf{w}_v\) e \(G = \mathbf{w}_v \cdot \mathbf{w}_v\).
Da questo si ricava \( I_P(\mathbf{w}) = (w_1\mathbf{x}_u + w_2\mathbf{x}_v)\cdot (w_1\mathbf{x}_u + w_2\mathbf{x}_v) = w_1^2E + 2w_1w_2F + w_2^2G \).

Ora se la superficie non sta più in \(\mathbb{R}^3\) è evidente che questa definizione non va più bene.

Per la seconda le cose sono più complesse.

[aram1]

non riesco a visualizzare quello che scrivi in formato "matematico"...come posso fare?

[aram1]

inoltre non capisco ancora la cosa seguente: I_p (w) come si legge e che rapporto c'è tra p e il vettore w...

[vict85]

"aram":inoltre non capisco ancora la cosa seguente: I_p (w) come si legge e che rapporto c'è tra p e il vettore w...

Il vettore w è applicato in p.