Forme Differenziali - Dubbio su Dominio semplic. Connesso
Nell'analizzare una F.D. mi è uscito un dominio (insieme di definizione A) costituito secondo la seguente regola:
xy != -2 A:={ Tutte le coppie di valori di R^2 ad eccezione dei punti in cui si verifica xy = -2 (iperbole secondo e quarto quadrante, se non erro)}
Ora, considerato il fatto che la Forma Differenziale è definita in un piano (e non nello spazio), devo stabilire se il dominio così costituito sia semplicemente connesso.
Ho applicato il teorema sui domini stellati e le definizioni di aperto connesso.In questo modo sono giunto alla conclusione che il dominio NON è semplicemente connesso e che la F.D. NON è esatta pur essendo chiusa.
Sui testi che ho a disposizione ci sono pochi esempi pratici, per cui in casi come questo, in cui il dominio R^2 risulta "spezzato a metà" o più parti, da una linea retta o da una curva generica non chiusa, i cui punti sono di frontiera, rimango indeciso su come classificarlo.
Per piacere qualcuno potrebbe sciogliere questi miei dubbi?
Grazie.
xy != -2 A:={ Tutte le coppie di valori di R^2 ad eccezione dei punti in cui si verifica xy = -2 (iperbole secondo e quarto quadrante, se non erro)}
Ora, considerato il fatto che la Forma Differenziale è definita in un piano (e non nello spazio), devo stabilire se il dominio così costituito sia semplicemente connesso.
Ho applicato il teorema sui domini stellati e le definizioni di aperto connesso.In questo modo sono giunto alla conclusione che il dominio NON è semplicemente connesso e che la F.D. NON è esatta pur essendo chiusa.
Sui testi che ho a disposizione ci sono pochi esempi pratici, per cui in casi come questo, in cui il dominio R^2 risulta "spezzato a metà" o più parti, da una linea retta o da una curva generica non chiusa, i cui punti sono di frontiera, rimango indeciso su come classificarlo.
Per piacere qualcuno potrebbe sciogliere questi miei dubbi?
Grazie.
Risposte
Benvenuto, prima di tutto.
Ti ricordo che puoi scrivere molto comodamente le formule usando MathML: ecco cosa succede se metto il segno di "dollaro" prima e dopo la formula che avevi scritto: $xy != -2$
Venendo in argomento, tu hai un dominio che è fatto di tre "pezzi", ciascuno dei quali è connesso e semplicemente connesso (la parte "interna" all'iperbole è stellata rispetto all'origine [e solo rispetto a quel punto!]; le due parti "esterne" sono convesse).
Quindi, per ognuna di queste tre zone, chiusura gaantisce la connessione, ergo hai una F.D. esatta.
L'effetto di non essere su un insieme non connesso si ripercuote sulla "costante arbitraria". Avrai cioè tre costanti arbitarie, una per ogni pezzo (spero sia chiaro, sennò, questo è un forum e basta chiedere
).
Ti ricordo che puoi scrivere molto comodamente le formule usando MathML: ecco cosa succede se metto il segno di "dollaro" prima e dopo la formula che avevi scritto: $xy != -2$
Venendo in argomento, tu hai un dominio che è fatto di tre "pezzi", ciascuno dei quali è connesso e semplicemente connesso (la parte "interna" all'iperbole è stellata rispetto all'origine [e solo rispetto a quel punto!]; le due parti "esterne" sono convesse).
Quindi, per ognuna di queste tre zone, chiusura gaantisce la connessione, ergo hai una F.D. esatta.
L'effetto di non essere su un insieme non connesso si ripercuote sulla "costante arbitraria". Avrai cioè tre costanti arbitarie, una per ogni pezzo (spero sia chiaro, sennò, questo è un forum e basta chiedere
).
Innanzitutto grazie per il caloroso benvenuto e per la dritta, in effetti avrei voluto mettere la formula in una forma migliore ma non ci sono riuscito! La prox la metto meglio!
Allora, fammi vedere se ho capito bene: Questo significa che in ciascuna delle tre parti la forma è esatta e quindi il campo è conservativo, Giusto? Quindi se faccio l'integrale curvilineo della FD per una curva chiusa interamente contenuta in una delle tre parti il valore sarà 0. Mi domando però cosa accadrebbe se decidessi di calcolare la primitiva della FD, per poi fare la differenza della stessa fra due punti: il primo nel connesso "centrale" ed il secondo in una delle due parti. In questo modo l'esattezza è ancora valida? Cioè, la differenza tra primitive sarà sempre uguale all'integrale curvilineo di qualsiasi curva che abbia per estremi i due punti citati?
L'effetto di non essere su un insieme non connesso si ripercuote sulla "costante arbitraria". Avrai cioè tre costanti arbitarie, una per ogni pezzo (spero sia chiaro, sennò, questo è un forum e basta chiedere ).
Allora, fammi vedere se ho capito bene: Questo significa che in ciascuna delle tre parti la forma è esatta e quindi il campo è conservativo, Giusto? Quindi se faccio l'integrale curvilineo della FD per una curva chiusa interamente contenuta in una delle tre parti il valore sarà 0. Mi domando però cosa accadrebbe se decidessi di calcolare la primitiva della FD, per poi fare la differenza della stessa fra due punti: il primo nel connesso "centrale" ed il secondo in una delle due parti. In questo modo l'esattezza è ancora valida? Cioè, la differenza tra primitive sarà sempre uguale all'integrale curvilineo di qualsiasi curva che abbia per estremi i due punti citati?
"la differenza tra primitive sarà sempre uguale all'integrale curvilineo di qualsiasi curva che abbia per estremi i due punti citati?"
Occhio, che devi attraversare lo Stige...
Questo non è contemplato nei teoremi cui fai riferimento
Occhio, che devi attraversare lo Stige...
Questo non è contemplato nei teoremi cui fai riferimento
E quindi? Pago il soldo al traghettatore?
In tali circostanze su un compito d'esame come rispondo al prof? Metto che è esatta?
In tali circostanze su un compito d'esame come rispondo al prof? Metto che è esatta?
"Allora, fammi vedere se ho capito bene: Questo significa che in ciascuna delle tre parti la forma è esatta e quindi il campo è conservativo, Giusto?"
Giusto.
Guarda che non avevo citato a caso i "teoremi cui fai riferimento". E ti avevo suggerito di andare a controllare.
La CNS non contempla ovviamente di calcolare integrali su curve che non siano contenute dentro l'ìinsieme di definizione della FD. Per l'appunto, niente Stige.
Giusto.
Guarda che non avevo citato a caso i "teoremi cui fai riferimento". E ti avevo suggerito di andare a controllare.
La CNS non contempla ovviamente di calcolare integrali su curve che non siano contenute dentro l'ìinsieme di definizione della FD. Per l'appunto, niente Stige.
Ok adesso ho capito finalmente. In pratica devo verificare che la curva sia contenuta in una delle tre parti prima di fare un eventuale integrale curvilineo. In ogni caso l'esattezza e quindi il fatto che sia conservativa (la FD) va considerata localmente rispetto a ciascuno dei tre aperti che si vengono a costituire. Certamente L'insieme costituito dall' unione dei tre non è conservativo. Presi singolarmente lo sono invece.
Perfetto. Grazie.
Perfetto. Grazie.
Questo topic mi ha fatto venire una curiosità, che illustro con un esempio:
$omega(x,y)=xdx+1/root(3)(y) dy$. Questa F.D.L. non è definita sull'asse x, ma è esatta sui semipiani ${y>0}, {y<0}$. Inoltre la funzione $f(x,y)=1/2 x^2 + 3/2 y^(2/3)$ è continua su tutto $RR^2$, e nei punti in cui è differenziabile $df=omega$.
In dimensione 1, qualcuno chiama "primitive generalizzate" delle funzioni analoghe, più precisamente:
data $f:[a,b]\toRR$ diremo che $F:[a,b]\toRR$ è una sua primitiva generalizzata se è continua, derivabile tranne al più in un numero finito di punti e $F'(x)=f(x)$.
La cosa simpatica con queste funzioni è che continua a valere il teorema fondamentale del calcolo integrale:
se $f$ è integrabile, allora $int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$ (segue dall'additività dell'integrale: se i punti "problematici" sono ${x_0, ldots, x_k}$, allora $int_a^b f(t)\ dt=lim_{c\tox_0^-} int_a^{c}f(t)\ dt+\ldots+lim_{c\tox_k^+} int_c^b\ f(t)\ dt=F(b)-F(x_k)+F(x_k)-\ldots+F(a)=F(b)-F(a)$.)
Vale qualcosa del genere per la nostra $omega$? Ho provato a valutare $omega$ su qualche curva $gamma$ che "attraversa lo Stige" (lo Stige è l'asse delle x in questo caso), ed ho sempre ottenuto delle funzioni integrabili (in senso improprio) per le quali continuava a valere il teorema $int_{gamma} omega= f(\text{secondo estremo di }gamma)-f(\text{primo estremo di }gamma)$.
Qualcuno può aggiungere qualcosa? (fermo restando che è solo una mia curiosità - magari è una cosa banale non so)
$omega(x,y)=xdx+1/root(3)(y) dy$. Questa F.D.L. non è definita sull'asse x, ma è esatta sui semipiani ${y>0}, {y<0}$. Inoltre la funzione $f(x,y)=1/2 x^2 + 3/2 y^(2/3)$ è continua su tutto $RR^2$, e nei punti in cui è differenziabile $df=omega$.
In dimensione 1, qualcuno chiama "primitive generalizzate" delle funzioni analoghe, più precisamente:
data $f:[a,b]\toRR$ diremo che $F:[a,b]\toRR$ è una sua primitiva generalizzata se è continua, derivabile tranne al più in un numero finito di punti e $F'(x)=f(x)$.
La cosa simpatica con queste funzioni è che continua a valere il teorema fondamentale del calcolo integrale:
se $f$ è integrabile, allora $int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$ (segue dall'additività dell'integrale: se i punti "problematici" sono ${x_0, ldots, x_k}$, allora $int_a^b f(t)\ dt=lim_{c\tox_0^-} int_a^{c}f(t)\ dt+\ldots+lim_{c\tox_k^+} int_c^b\ f(t)\ dt=F(b)-F(x_k)+F(x_k)-\ldots+F(a)=F(b)-F(a)$.)
Vale qualcosa del genere per la nostra $omega$? Ho provato a valutare $omega$ su qualche curva $gamma$ che "attraversa lo Stige" (lo Stige è l'asse delle x in questo caso), ed ho sempre ottenuto delle funzioni integrabili (in senso improprio) per le quali continuava a valere il teorema $int_{gamma} omega= f(\text{secondo estremo di }gamma)-f(\text{primo estremo di }gamma)$.
Qualcuno può aggiungere qualcosa? (fermo restando che è solo una mia curiosità - magari è una cosa banale non so)
Non so la risposta alla tua domanda finale.
E, quanto a congetturarla:
- da una parte mi domando se non potrei trovare una curva che attraversa la zona vietata in modo "molto lento" in modo da far divergere l'ntegale
- dall'altra direi che forse la regolarità della curva mi dovrebbe impedire di tergiversare troppo (e poi nel tuo caso particolare in cui la parte che crea guai non dipenda dalla $x$, forse è inutile tergiversare)
E, quanto a congetturarla:
- da una parte mi domando se non potrei trovare una curva che attraversa la zona vietata in modo "molto lento" in modo da far divergere l'ntegale
- dall'altra direi che forse la regolarità della curva mi dovrebbe impedire di tergiversare troppo (e poi nel tuo caso particolare in cui la parte che crea guai non dipenda dalla $x$, forse è inutile tergiversare)
"Fioravante Patrone":
regolarità della curva mi dovrebbe impedire di tergiversare troppo (e poi nel tuo caso particolare in cui la parte che crea guai non dipenda dalla $x$, forse è inutile tergiversare)
Vediamo se ho capito quello che mi vuoi dire:
(per $omega$ intendo la F.D.L. di prima)
prendiamo una curva $gamma(t)=(gamma_x(t),gamma_y(t))$, regolare; supponiamo che intersechi l'asse x al più un numero finito di volte.
Per ogni $t$ tale che $gamma(t)$ non è sull'asse x, possiamo valutare $omega$ su $gamma$:
$omega(gamma(t))(gamma'(t))=gamma_x(t)gamma'_x(t)+(gamma'_y(t))/root(3)(gamma_y(t))$;
Per cui l'ultima espressione sarà sempre integrabile (impropriamente), se infatti $gamma$ è definita su $[a,b]$:
$int_a^b\ omega(gamma(t))(gamma'(t))=int_a^bgamma_x(t)gamma'_x(t)+int_a^b(gamma'_y(t))/root(3)(gamma_y(t))$
e il primo dei due integrali a destra non dà nessun problema, mentre il secondo si riconduce (con il cambio di variabile $s=gamma(t)$ a qualcosa di simile a $int_{-1}^1 (ds)/root(3)(s)$ che converge.
Quindi possiamo sempre attraversare la zona vietata. E penso che non sia difficile a questo punto dimostrare che gli integrali $int_{gamma}omega=f(gamma(b))-f(gamma(a))$, usando la continuità di $f$.
Può andare bene?
Direi che hai convertito in formule il mio pensiero 
Benissimo! In effetti mi sto rendendo conto che non è una cosa troppo strana, nel senso che,
1) se di una FDL conosciamo una primitiva, che ci dà problemi al più su un insieme "abbastanza piccolo" (*), e la FDL stessa è limitata, allora possiamo integrare lungo le curve che presentano al più un numero finito(*) di punti problematici, e il risultato che otteniamo è governato dalla formula fondamentale del calcolo, nella versione generalizzata che ho citato qualche post fa;
2) nell'esempio precedente la FDL non era limitata ma ci faceva la cortesia di far convergere sempre i suoi integrali, e perciò continuava a valere questo discorso: ma non è un caso generale - vedi $1/y^2\ dy$ ad esempio, che ha integrali divergenti.
Più di questo però non riesco a dire. Scrivo questo post per chiedere a qualcuno più esperto se si possa fare qualcosa per i punti (*) che penso si possano migliorare parecchio. Nel frattempo ringrazio molto F.P. per avermi dato corda!
1) se di una FDL conosciamo una primitiva, che ci dà problemi al più su un insieme "abbastanza piccolo" (*), e la FDL stessa è limitata, allora possiamo integrare lungo le curve che presentano al più un numero finito(*) di punti problematici, e il risultato che otteniamo è governato dalla formula fondamentale del calcolo, nella versione generalizzata che ho citato qualche post fa;
2) nell'esempio precedente la FDL non era limitata ma ci faceva la cortesia di far convergere sempre i suoi integrali, e perciò continuava a valere questo discorso: ma non è un caso generale - vedi $1/y^2\ dy$ ad esempio, che ha integrali divergenti.
Più di questo però non riesco a dire. Scrivo questo post per chiedere a qualcuno più esperto se si possa fare qualcosa per i punti (*) che penso si possano migliorare parecchio. Nel frattempo ringrazio molto F.P. per avermi dato corda!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo