Forme bilineari simmetriche: confusione
Buonasera a tutti.
Ho disperatamente bisogno di voi
. Sarà che è maggio e fa caldo (troppo caldo!), sarà che sono stanco, sarà che gli esami si avvicinano, ma ho molta confusione in testa, specie su quest'ultima parte del corso di Geometria e Algebra lineare.
Procedo con ordine. Forme bilineari simmetriche (f.b.s.): ok, so qual è la definizione, so trovare la matrice associata ad essa rispetto ad una base dello spazio vettoriale in questione. E ho anche chiaro che cos'è una forma quadratica.
Adesso, cominciamo a mettere un po' di nomi. Sia $V$ lo spazio vettoriale in cui vivo, di dimensione finita $n$. Sia $B$ una base fissata di $V$. Sia [tex]\varphi: V \times V \to \mathbb{R}[/tex] una forma bilineare simmetrica, la cui matrice associata rispetto alla base $B$ è $A=M^B(\varphi) in RR^(n,n)$.
Tutte le (altre) matrici associate alla stessa forma bilineare simmetrica sono della forma $^tPAP$ (con $^t$ indico la trasposta), essendo $P in GL(n,RR)$ la matrice del cambiamento di base. In altre parole, se cambio base e da $B$ vado nella base di $B'$ so scrivere la matrice $P$ (sulle colonne ho le componenti dei vettori della base $B'$ scritti rispetto alla base $B$) e quindi so anche trovare $A'=^tPAP$, cioè la matrice associata alla stessa f.b.s rispetto alla base $B'$. Ok fin qui?
Adesso cominciano i problemi. Con le convenzioni di cui sopra, in generale, posso dire che $A$ e $A'$ NON sono simili, dunque non hanno lo stesso polinomio caratteristico (e quindi, in particolare, non hanno medesimi autovalori). Però c'è il teorema di Sylvester che mi salva, perchè mi garantisce che la segnatura (cioè il numero di autovalori positivi e negativi) di una forma quadratica è un invariante della forma stessa.
Sono interessato a studiare la segnatura di una forma quadratica perchè mi essa mi dà parecchie informazioni: mi permette di classificare la f.b.s. (definita, semidefinita positiva-negativa).
Adesso, supponiamo che mi venga data una forma quadratica $Q(x)$ di $V$ e mi venga chiesto di:
1. scriverla in forma canonica (con forma canonica intendo: in maniera tale che la matrice ad essa associata sia diagonale)
2. specificare la base rispetto cui tale forma è scritta in forma canonica.
Il punto 1 è easy: diagonalizzo la matrice (dietro tutto c'è il th spettrale!) come se fosse una matrice associata ad un endomorfismo. Quindi alla fine scrivo sulla diagonale gli autovalori con la relativa molteplicità.
Adesso, il cambiamento di base: la nuova matrice in forma diagonale è scritta ovviamente rispetto a una base di autovettori (ma di chi? stiamo parlando di f.b.s non di endomorfismi!). Non solo ma mi è stato detto di trovare una base ortonormale di autovettori: questa è la base rispetto cui la forma quadratica è scritta in forma canonica.
Ebbene, io mi sono perso. Prima mi si dice che matrici associate alla stessa f.b.s NON sono in generale simili, poi mi si forza a rendere A e A' simili (giacchè questo è l'intento: voglio la base ortonormale di autovettori perchè la matrice del cambiamento di base sia ortogonale e quindi $^tP=P^-1$).
Insomma, in pratica è chiaro come procedere: diagonalizzi, Gram-Schimdt e sei a posto, è lo stesso discorso che sia con gli endomorfismi la cui matrice associata è simmetrica.
Ma proprio qui sta il punto: io non ho capito come si incastra la teoria degli endomorfismi (th spettrale, matrici simili etc) con il discorso sulle f.b.s.
In particolare, non capisco questa necessità della base ortonormale di autovettori.
Perdonate la lunghezza, la prolissità, la confusione.
Un grazie in anticipo a chi mi illumina.
Ho disperatamente bisogno di voi
. Sarà che è maggio e fa caldo (troppo caldo!), sarà che sono stanco, sarà che gli esami si avvicinano, ma ho molta confusione in testa, specie su quest'ultima parte del corso di Geometria e Algebra lineare. Procedo con ordine. Forme bilineari simmetriche (f.b.s.): ok, so qual è la definizione, so trovare la matrice associata ad essa rispetto ad una base dello spazio vettoriale in questione. E ho anche chiaro che cos'è una forma quadratica.
Adesso, cominciamo a mettere un po' di nomi. Sia $V$ lo spazio vettoriale in cui vivo, di dimensione finita $n$. Sia $B$ una base fissata di $V$. Sia [tex]\varphi: V \times V \to \mathbb{R}[/tex] una forma bilineare simmetrica, la cui matrice associata rispetto alla base $B$ è $A=M^B(\varphi) in RR^(n,n)$.
Tutte le (altre) matrici associate alla stessa forma bilineare simmetrica sono della forma $^tPAP$ (con $^t$ indico la trasposta), essendo $P in GL(n,RR)$ la matrice del cambiamento di base. In altre parole, se cambio base e da $B$ vado nella base di $B'$ so scrivere la matrice $P$ (sulle colonne ho le componenti dei vettori della base $B'$ scritti rispetto alla base $B$) e quindi so anche trovare $A'=^tPAP$, cioè la matrice associata alla stessa f.b.s rispetto alla base $B'$. Ok fin qui?
Adesso cominciano i problemi. Con le convenzioni di cui sopra, in generale, posso dire che $A$ e $A'$ NON sono simili, dunque non hanno lo stesso polinomio caratteristico (e quindi, in particolare, non hanno medesimi autovalori). Però c'è il teorema di Sylvester che mi salva, perchè mi garantisce che la segnatura (cioè il numero di autovalori positivi e negativi) di una forma quadratica è un invariante della forma stessa.
Sono interessato a studiare la segnatura di una forma quadratica perchè mi essa mi dà parecchie informazioni: mi permette di classificare la f.b.s. (definita, semidefinita positiva-negativa).
Adesso, supponiamo che mi venga data una forma quadratica $Q(x)$ di $V$ e mi venga chiesto di:
1. scriverla in forma canonica (con forma canonica intendo: in maniera tale che la matrice ad essa associata sia diagonale)
2. specificare la base rispetto cui tale forma è scritta in forma canonica.
Il punto 1 è easy: diagonalizzo la matrice (dietro tutto c'è il th spettrale!) come se fosse una matrice associata ad un endomorfismo. Quindi alla fine scrivo sulla diagonale gli autovalori con la relativa molteplicità.
Adesso, il cambiamento di base: la nuova matrice in forma diagonale è scritta ovviamente rispetto a una base di autovettori (ma di chi? stiamo parlando di f.b.s non di endomorfismi!). Non solo ma mi è stato detto di trovare una base ortonormale di autovettori: questa è la base rispetto cui la forma quadratica è scritta in forma canonica.
Ebbene, io mi sono perso. Prima mi si dice che matrici associate alla stessa f.b.s NON sono in generale simili, poi mi si forza a rendere A e A' simili (giacchè questo è l'intento: voglio la base ortonormale di autovettori perchè la matrice del cambiamento di base sia ortogonale e quindi $^tP=P^-1$).
Insomma, in pratica è chiaro come procedere: diagonalizzi, Gram-Schimdt e sei a posto, è lo stesso discorso che sia con gli endomorfismi la cui matrice associata è simmetrica.
Ma proprio qui sta il punto: io non ho capito come si incastra la teoria degli endomorfismi (th spettrale, matrici simili etc) con il discorso sulle f.b.s.
In particolare, non capisco questa necessità della base ortonormale di autovettori.
Perdonate la lunghezza, la prolissità, la confusione.
Un grazie in anticipo a chi mi illumina.
Risposte
"cirasa":La tua dimostrazione non fa una grinza.
[quote="Paolo90"]Che ne dite? E' corretta?
[/quote]
Evvai
Grazie per il controllo, capo!
Con una tecnica simile, se hai voglia, ecco un esercizio superclassico per te:
Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione finita [tex]n[/tex]. Sia data una forma bilineare [tex]\omega[/tex] antisimmetrica* e non degenere.
Dimostrare che [tex]n[/tex] è pari.
Davvero molto bello. Vediamo se più o meno mi avvicino.
Che dici? Ti ringrazio per avermelo proposto; anzi, se hai altri esercizi simili da proporre ti ascolto molto volentieri. Ovviamente, senza impegno (non voglio stressarti).
Grazie
Interrompo un attimo: sì, con "aggiunta" intendevo la trasposta coniugata. Sarà meglio dire "trasposta coniugata" che non genera questa confusione.
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