Forme bilineari
Ciao!!!
non riesco a capire una cosa:data una forma bilineare $\phi(u,v)$ devo dimostrare che sia effettivamente bilineare.
quindi devo mostrare che vale che
$\phi(\alphau+\betav,w)=\alpha\phi(u,w)+\beta\phi(v,w)$
e
$\phi(w,\alphau+\betav)=\alpha\phi(w,u)+\beta\phi(w,v)$
ora supponiamo che la mia forma bilineare sia
$\phi:M_2*M_2\toRR$
$\phi(A,B)=tr(AB)$
devo dimostrarne la bilinearità.
supponiamo che $A=A_1+A_2$.
allora avremo che
$\phi(\alphaA_1+\betaA_2,B)=tr(\alphaA_1+\betaA_2,B)=tr[\alpha(A_1B)]+tr[\beta(A_2B)]=\alpha*tr(A_1B)+\beta*tr(A_2B)=\alpha\phi(A_1,B)+\beta\phi(A_2,B)$
potrebbe andare?
non sono sicura di aver capito come si dimostra la bilinearità.
un altro esempio in cui devo dimostrare la bilinearità che non ho capito è questo:
si consideri l'insieme dei vettori liberi nello spazio $V_3$, sia $w$ un suo vettore fissato e $B=(e_1,e_2,e_3)$ una base ortonormale orientata positivamente.
si cosideri l'applicazione
$h:V_3*V_3\toRR$
$h(u,v)=$
si dimostri che si tratta di una forma bilineare.
qui non so proprio da dove partire...
non riesco a capire una cosa:data una forma bilineare $\phi(u,v)$ devo dimostrare che sia effettivamente bilineare.
quindi devo mostrare che vale che
$\phi(\alphau+\betav,w)=\alpha\phi(u,w)+\beta\phi(v,w)$
e
$\phi(w,\alphau+\betav)=\alpha\phi(w,u)+\beta\phi(w,v)$
ora supponiamo che la mia forma bilineare sia
$\phi:M_2*M_2\toRR$
$\phi(A,B)=tr(AB)$
devo dimostrarne la bilinearità.
supponiamo che $A=A_1+A_2$.
allora avremo che
$\phi(\alphaA_1+\betaA_2,B)=tr(\alphaA_1+\betaA_2,B)=tr[\alpha(A_1B)]+tr[\beta(A_2B)]=\alpha*tr(A_1B)+\beta*tr(A_2B)=\alpha\phi(A_1,B)+\beta\phi(A_2,B)$
potrebbe andare?
non sono sicura di aver capito come si dimostra la bilinearità.
un altro esempio in cui devo dimostrare la bilinearità che non ho capito è questo:
si consideri l'insieme dei vettori liberi nello spazio $V_3$, sia $w$ un suo vettore fissato e $B=(e_1,e_2,e_3)$ una base ortonormale orientata positivamente.
si cosideri l'applicazione
$h:V_3*V_3\toRR$
$h(u,v)=
si dimostri che si tratta di una forma bilineare.
qui non so proprio da dove partire...
Risposte
La prima mi sembra corretta. Ora dovresti provare la bilinearità sul secondo membro di $phi$ ma si fa analogamente.
Per la seconda devi procedere come prima. Incontri forse problemi nell'operazione $\wedge$? Con questa indichi il prodotto esterno (o prodotto vettoriale), vero?
Per la seconda devi procedere come prima. Incontri forse problemi nell'operazione $\wedge$? Con questa indichi il prodotto esterno (o prodotto vettoriale), vero?
"mistake89":
La prima mi sembra corretta. Ora dovresti provare la bilinearità sul secondo membro di $phi$ ma si fa analogamente.
si la seconda parte dela dimostrazione l'ho tralasciata in quanto simile alla prima.
"mistake89":
Per la seconda devi procedere come prima. Incontri forse problemi nell'operazione $\wedge$? Con questa indichi il prodotto esterno (o prodotto vettoriale), vero?
si indico il prodotto vettoriale.
il mio problema è che non so come impostare la dimostrazione.
ossia, dovrei dimostrare che
$h(\alphau+\betav,w)=\alphah(u,w)+\betah(v,w)$?
in questo caso proverei a fare
$h(\alphau+\betav,w)=
a questo punto non so che regola potrei usare..perchè so che posso fare
$uwedge(v+w)=uwedgev+uwedgew$
ma in questo caso ho il prodotto misto e non saprei come scomporlo in somma..
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