Formalizzare, dato \( f \in End_K(E) \), che \( sp(f)\) ha al più \(n=deg(p.c.) \) autovalori

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
come posso formalizzare il fatto che, dato un \( f \in End_K(E) \), lo spettro di \( f \), ovvero \( sp(f) \), ha al più \(n \) autovalori, ove \( n \) è il grado del polinomio caratteristico (ovvero anche \(n=\dim_K(E) \))? Ringrazio anticipatamente!
Saluti

P.S.=Purtroppo non mi viene in mente come fare!

[Pappappero1]

Basta far vedere che un elemento $\lambda \in K$ è autovalore se e solo se è radice del polinomio caratteristico. Tu vuoi determinare i $\lambda$ per cui esiste un $ v \in E$, $v \ne 0$, per cui $f(v) = \lambda v$. Questo è equivalente ad avere un $\lambda$ per cui esiste un $v \ne 0$ tale che $(f - \lambda id)v = 0$. Da qui è facile...

[garnak.olegovitc1]

@Pappappero,
mmm quello che dici lo so e mi è banalmente chiaro.... io cmq avevo pensato di dire che $$card(sp(f))\leq n$$ ma volevo evitare il ricorso alla cardinalità! Thanks della risposta!
Saluti

P.S.=In sostanza mi rendo conto che sto involontariamente formalizzando il teorema fondamentale dell'algebra!

[Pappappero1]

Allora non ho capito la tua domanda. Parlare di numero di elementi di un insieme senza parlare di cardinalità è quasi impossibile. In ogni caso siamo in cardinalità finita, non ci sono cose strane che succedono.

[garnak.olegovitc1]

@Pappappero,

"Pappappero":Allora non ho capito la tua domanda. Parlare di numero di elementi di un insieme senza parlare di cardinalità è quasi impossibile. In ogni caso siamo in cardinalità finita, non ci sono cose strane che succedono.

cercavo una camuffamento del concetto di cardinalità, per esempio $$n=deg(p.c.) \to \exists a_1,a_2,...,a_i \in K (i \leq n \wedge sp(f)=\{a_1,a_2,...,a_i\})$$ Saluti