Forma quadratica e forma canonica
potete darmi una mano con il seguente esercizio?
nello spazio vettoriale reale $R^3$ riferito alla base canonica, sia $b$ la forma bilineare simmetrica definita da $AA X=(x_1,x_2,x_3,x_4) , Y=(y_1,y_2,y_3,y_4)$,
$b=x_1y_1+5x_2y_2+x_3y_3+x_1y_2+x_2y_1+3x_1y_3+3x_3y_1+x_2y_3+x_y_2$
e sia $q(x)$ la forma quadratica associata a $b$
1- determinare il $rg b$
2- determinare il $Ker b$
3- dare una forma canonica di $q$ e il cambio di base relativo
Svolgimento:
1-la matrice associata alla forma bilineare è $A=$ $((1,1,3),(1,5,1),(3,1,1))$
quindi il $rg b=3$
3- la forma quadratica associata a $b$ dovrebbe essere $q=(x_1)^2+5(x_2)^2+(x_3)^2+2x_1x_2+6x_1x_3+2x_2x_3$
essendo l'elemento $b_11 !=0$ possiamo considerare il vettore $e_1$ come il primo vettore della nuova base ($e'_1=e_1$), consideriamo poi $e'_2=e_2+ke_1$ e $e'_3=e_3+he_1$
imponiamo l'ortogonalità:
$0=b(e'_2,e'_1)=b(e_2,e_1)+k(e_1,e_1)=b_21+kb_11=1+k$ e quindi $k=-1$
$0=b(e'_3,e'_1)=b(e_3,e_1)+h(e_1,e_1)=b_31+hb_11=3+h)$
e quindi $h=-3$
la nuova base sarà: $e'_1=e_1 , e'_2=e_2-e_1 , e'_3=e_3-3e_1$
e la matrice del cambiamento di base
$P_1=$ $((1,-1,-3),(0,1,0),(0,0,1))$
la matrice che rappresenta $b$ rispetto alla base trovata é data dalla formula $A'=(P_1)^t A P$ cioè $((1,0,0),(0,4,-2),(0,-2,-8))$
per diagonalizzare la matrice utilizziamo una variante dell'algoritmo di gauss (sinceramente è la prima volta che lo utilizzo in questo modo, l'ho trovato su un esercizio su internet e mi è sembrato pratico, ditemi se è corretto): considero la sottomatrice $2x2$ in basso a destra e applico il classico metodo di eliminazione per l'ultima riga, mentre per la prima di questa sottomatrice riscrivo il primo elemento e alla fine l'elemento di posto $1,2$ lo scrivo per simmetria con quello di posto $2,1$ cioè $0$ e la matrice che mi viene fuori è $A''=$ $((1,0,0),(0,4,0),(0,0,-9))$ questa nuova base è ottenuta dalla precedente nel seguente modo
$e'_1=e'_1 , e'_2=e'_2 , e'_3=e'_3+1/2e'_2$
la matrice del cambio di base è $P_2=$ $((1,0,0),(0,1,1/2),(0,0,1))$
poi ho normalizzato $e''_1=e''_1 , e''_2=(e''_2)/2 , e''_3=(e''_3)/(i3)$
la matrice di questo ultimo cambio di coordinate è
$P_3=$ $((1,0,0),(0,1/2,0),(0,0,1/3i))$ (su questo passaggio ho qualche dubbio su quella i....)
la matrice del cambiamento di base dalla base originaria alla base in cui $q$ ha forma canonica è $P=P_1P_2P_3$ cioè $P=$ $((1,-1/2,-7/6i),(0,1/2,1/6i),(0,0,1/3i))$
quindi se poniamo $((x),(y),(z))=P((s),(t),(u))$ e sostituiamo le espressioni trovate in $q(x,y,z)$ otteniamo $q=s^2+t^2+u^2$
vi sembra giusto come ragionamento??
invece per quanto riguarda il punto 2 ho il buio totale....potete darmi qualche aiutino???? vi prego
nello spazio vettoriale reale $R^3$ riferito alla base canonica, sia $b$ la forma bilineare simmetrica definita da $AA X=(x_1,x_2,x_3,x_4) , Y=(y_1,y_2,y_3,y_4)$,
$b=x_1y_1+5x_2y_2+x_3y_3+x_1y_2+x_2y_1+3x_1y_3+3x_3y_1+x_2y_3+x_y_2$
e sia $q(x)$ la forma quadratica associata a $b$
1- determinare il $rg b$
2- determinare il $Ker b$
3- dare una forma canonica di $q$ e il cambio di base relativo
Svolgimento:
1-la matrice associata alla forma bilineare è $A=$ $((1,1,3),(1,5,1),(3,1,1))$
quindi il $rg b=3$
3- la forma quadratica associata a $b$ dovrebbe essere $q=(x_1)^2+5(x_2)^2+(x_3)^2+2x_1x_2+6x_1x_3+2x_2x_3$
essendo l'elemento $b_11 !=0$ possiamo considerare il vettore $e_1$ come il primo vettore della nuova base ($e'_1=e_1$), consideriamo poi $e'_2=e_2+ke_1$ e $e'_3=e_3+he_1$
imponiamo l'ortogonalità:
$0=b(e'_2,e'_1)=b(e_2,e_1)+k(e_1,e_1)=b_21+kb_11=1+k$ e quindi $k=-1$
$0=b(e'_3,e'_1)=b(e_3,e_1)+h(e_1,e_1)=b_31+hb_11=3+h)$
e quindi $h=-3$
la nuova base sarà: $e'_1=e_1 , e'_2=e_2-e_1 , e'_3=e_3-3e_1$
e la matrice del cambiamento di base
$P_1=$ $((1,-1,-3),(0,1,0),(0,0,1))$
la matrice che rappresenta $b$ rispetto alla base trovata é data dalla formula $A'=(P_1)^t A P$ cioè $((1,0,0),(0,4,-2),(0,-2,-8))$
per diagonalizzare la matrice utilizziamo una variante dell'algoritmo di gauss (sinceramente è la prima volta che lo utilizzo in questo modo, l'ho trovato su un esercizio su internet e mi è sembrato pratico, ditemi se è corretto): considero la sottomatrice $2x2$ in basso a destra e applico il classico metodo di eliminazione per l'ultima riga, mentre per la prima di questa sottomatrice riscrivo il primo elemento e alla fine l'elemento di posto $1,2$ lo scrivo per simmetria con quello di posto $2,1$ cioè $0$ e la matrice che mi viene fuori è $A''=$ $((1,0,0),(0,4,0),(0,0,-9))$ questa nuova base è ottenuta dalla precedente nel seguente modo
$e'_1=e'_1 , e'_2=e'_2 , e'_3=e'_3+1/2e'_2$
la matrice del cambio di base è $P_2=$ $((1,0,0),(0,1,1/2),(0,0,1))$
poi ho normalizzato $e''_1=e''_1 , e''_2=(e''_2)/2 , e''_3=(e''_3)/(i3)$
la matrice di questo ultimo cambio di coordinate è
$P_3=$ $((1,0,0),(0,1/2,0),(0,0,1/3i))$ (su questo passaggio ho qualche dubbio su quella i....)
la matrice del cambiamento di base dalla base originaria alla base in cui $q$ ha forma canonica è $P=P_1P_2P_3$ cioè $P=$ $((1,-1/2,-7/6i),(0,1/2,1/6i),(0,0,1/3i))$
quindi se poniamo $((x),(y),(z))=P((s),(t),(u))$ e sostituiamo le espressioni trovate in $q(x,y,z)$ otteniamo $q=s^2+t^2+u^2$
vi sembra giusto come ragionamento??
invece per quanto riguarda il punto 2 ho il buio totale....potete darmi qualche aiutino???? vi prego
Risposte
vi prego qualcuno risponda!!! 
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