Forma quadratica e diagonalizzabilità [modificato]
Vi propongo due esercizi che ho trovato sui temi d'esami su cui mi sto esercitando per il mio esame di Algebra Lineare di venerdì prossimo. Spero riusciate ad aiutarmi, perchè finora nessuno mi ha saputo dare una risposta e la mia prof è disponibile a ricevermi solo l'11 pomeriggio..che è giusto un po tardi. grazie mille!!
1.Si consideri la forma quadratica su R4 definita da Q(x,y,z,t)= xt-yz
- trovare gli autovalori associati a Q e studiare il segno di Q
- Dato il sottospazio U={(x,y,z,t) $in$ R4: $x+t=0$, $y=z$} si verifichi che la forma quadratica Q è definita negativa in U.
-Si trovi una matrice simmetrica associata alla forma quadratica Q ristretta al sottospazio U.
2. Trovare i valori di k $in$ $R$ per i quali la matrice A è diagonalizzabile con
$((1,0,1),(0,k,0),(1,k-1,1))$
In corrispondenza a tali valori trovare una matrice invertibile V eduna matrice diagonale D tali che V(-1)AV= D.
Trovare poi i valori di k per i quali esiste una base ortogonale di R3 costituita da autovettori di A.
Grazie ancora!
Machi[code][/code]
1.Si consideri la forma quadratica su R4 definita da Q(x,y,z,t)= xt-yz
- trovare gli autovalori associati a Q e studiare il segno di Q
- Dato il sottospazio U={(x,y,z,t) $in$ R4: $x+t=0$, $y=z$} si verifichi che la forma quadratica Q è definita negativa in U.
-Si trovi una matrice simmetrica associata alla forma quadratica Q ristretta al sottospazio U.
2. Trovare i valori di k $in$ $R$ per i quali la matrice A è diagonalizzabile con
$((1,0,1),(0,k,0),(1,k-1,1))$
In corrispondenza a tali valori trovare una matrice invertibile V eduna matrice diagonale D tali che V(-1)AV= D.
Trovare poi i valori di k per i quali esiste una base ortogonale di R3 costituita da autovettori di A.
Grazie ancora!
Machi[code][/code]
Risposte
1) credo che trovare gli autovalori di una forma quadratica si riduca sempre alla ricerca delle radici del polinomio caratteristico. Perciò scrivi il polinomio caratteristico e cerca le sue radici. Ad occhio non dovrebbe essere nemmeno difficile.
Quanto al segno, che suppongo esse la segnatura, ci sono molti teoremi che permettono di calcolarla in maniera diretta, io personalmente non li conosco, quindi mi verrebbe da consigliarti di diagonalizzare la forma bilineare associata e determinare così una base ortogonale su cui individuare la segnatura.
Quanto al secondo quesito, ricavati le relazioni tra le componenti $x,y,z,t$ secondo quanto definito dall'equazione del sottospazio e sostituiscile all'equazione della forma quadratica, a questo punto diagonalizza questa restrizione e verifica la sua segnatura.
Si tratta di andare a sostituire in realtà a $x$ $-t$ e a $y$ $z$.
Quanto all'esercizio 2) inizia con lo scrivere il polinomio caratteristico e cerca di individuare cosa potrebbe succedere al variare di $k$
E poi lo verifichiamo insieme. La matrice rappresenta un Endomorfismo? Siamo in uno spazio dotato di prodotto scalare?
PS Su questo forum c'è la possibilità di scrivere le formule(click!) in maniera ottimale, sfruttiamolo!
Edit: ho trovato un teorema molto semplice per definire la segnatura delle forme quadratiche a partire dai suoi autovalori, qui il link
Quanto al segno, che suppongo esse la segnatura, ci sono molti teoremi che permettono di calcolarla in maniera diretta, io personalmente non li conosco, quindi mi verrebbe da consigliarti di diagonalizzare la forma bilineare associata e determinare così una base ortogonale su cui individuare la segnatura.
Quanto al secondo quesito, ricavati le relazioni tra le componenti $x,y,z,t$ secondo quanto definito dall'equazione del sottospazio e sostituiscile all'equazione della forma quadratica, a questo punto diagonalizza questa restrizione e verifica la sua segnatura.
Si tratta di andare a sostituire in realtà a $x$ $-t$ e a $y$ $z$.
Quanto all'esercizio 2) inizia con lo scrivere il polinomio caratteristico e cerca di individuare cosa potrebbe succedere al variare di $k$
E poi lo verifichiamo insieme. La matrice rappresenta un Endomorfismo? Siamo in uno spazio dotato di prodotto scalare?
PS Su questo forum c'è la possibilità di scrivere le formule(click!) in maniera ottimale, sfruttiamolo!
Edit: ho trovato un teorema molto semplice per definire la segnatura delle forme quadratiche a partire dai suoi autovalori, qui il link
[mod="Steven"]Benvenuto nel forum, Machi.
Ho modificato il titolo che avevi posto "risoluzione esercizi" perché è preferibile porre titoli non generici, che indichino l'argomento della discussione. Il tutto per facilitare gli utenti nella scelta dei topic da aprire.
Buona navigazione.[/mod]
Ho modificato il titolo che avevi posto "risoluzione esercizi" perché è preferibile porre titoli non generici, che indichino l'argomento della discussione. Il tutto per facilitare gli utenti nella scelta dei topic da aprire.
Buona navigazione.[/mod]
Allora..ho provato a svolgere il secondo esercizio e ho trovato la matrice diagonale..dopo aver trovato autovalori e autovettori..
la matrice che mi è risultata è la seguente:
D= $((1,0,1),(0,-2,0),(1,k-1,1))$
a questo punto..vedendo un esempio simile della prof (che non ha il k)...lei dice che avendo una matrice (D) simmetrica posso trovare la matrice ortogonale..
la matrice D che ho trovato è simmetrica.
praticamente devo fare il prodotto scalare tra gli autovettori trovati, trovarmi i vettori della nuova matrice, calcolare il determinante e vedere per quali valori di k esiste????
mi potreste calcolare i due vettori ortogonali per vedere se quelli che sto provando a trovare nn sn totalmente sbagliati??
grazie mille!!!
la matrice che mi è risultata è la seguente:
D= $((1,0,1),(0,-2,0),(1,k-1,1))$
a questo punto..vedendo un esempio simile della prof (che non ha il k)...lei dice che avendo una matrice (D) simmetrica posso trovare la matrice ortogonale..
la matrice D che ho trovato è simmetrica.
praticamente devo fare il prodotto scalare tra gli autovettori trovati, trovarmi i vettori della nuova matrice, calcolare il determinante e vedere per quali valori di k esiste????
mi potreste calcolare i due vettori ortogonali per vedere se quelli che sto provando a trovare nn sn totalmente sbagliati??
grazie mille!!!
Scusami, ma quella matrice $D$ a me non pare diagonale...
Infatti nn lo è.. ho fatto una confusione assurda!!
Allora..io..considerando che nn ho esempi a cui fare riferimento.. ho provato a risolvere esercizio..
gli autovalori li ho trovati facendo i casi in cui k è uguale e diverso da -2, e quando $lamda$=$k$,
con questi ho trovato la matrice $V$ che mi risulta $((-1,0,1),(0,0,1),(0,1,1))$, la matrice $D$ mi viene $((0,0,0),(0,k+2,0),(0,0,0))$
Poi per trovare la base ortogonale ho preso i vettori della matrice $V$, cioè gli autovettori, e ho applicato l'unica formula che ho trovato nei miei appunti su questa cosa, cioè per ogni autovettore ho fatto il rapporto tra il vettore stesso e la sua norma, così per tutti e tre gli autovettori e ho trovato$V'$=$((-1/(2^(1/2)),0,-1/(2^(1/2))),(0,0,1),(0,1/(2^(1/2)),1/(2^(1/2))))$
Allora..io..considerando che nn ho esempi a cui fare riferimento.. ho provato a risolvere esercizio..
gli autovalori li ho trovati facendo i casi in cui k è uguale e diverso da -2, e quando $lamda$=$k$,
con questi ho trovato la matrice $V$ che mi risulta $((-1,0,1),(0,0,1),(0,1,1))$, la matrice $D$ mi viene $((0,0,0),(0,k+2,0),(0,0,0))$
Poi per trovare la base ortogonale ho preso i vettori della matrice $V$, cioè gli autovettori, e ho applicato l'unica formula che ho trovato nei miei appunti su questa cosa, cioè per ogni autovettore ho fatto il rapporto tra il vettore stesso e la sua norma, così per tutti e tre gli autovettori e ho trovato$V'$=$((-1/(2^(1/2)),0,-1/(2^(1/2))),(0,0,1),(0,1/(2^(1/2)),1/(2^(1/2))))$
scusate ma la matrice $V'$ che ho scritto in realtà è la trasposta a quella che ho trovato... sorry..
Sarò più esplicito... leggi il teorema spettrale!
quanto al punto 1) dell'esercizio 2), prova a scrivere il polinomio caratteristico al variare di $k$ e a discutere insieme i due casi!
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