Forma quadratica associata alla matrice

[absurd00]

La matrice è

4 -2 1
-2 4 1
1 1 0

Non riesco a capire come si calcola.. devo dire se è definita positiva, definita negativa, o indefinita.
Grazie. Laura

[mistake89]

Si tratta di calcolare la segnatura... non sai come fare? Nessuna idea?
Sai diagonalizzare una forma quadratica?

[absurd00]

scusa un attimo...se ho fatto la domanda vuol dire che non sò la risposta...non ho capito questo argomento.

[mistake89]

Nel regolamento è scritto chiaramente che bisogna provare a dare un tentativo di risoluzione, non me lo sono inventato.
Per me risolvere l'esercizio non sarebbe assolutamente un problema, ma non è conforme allo spirito di questa community.

Anyway, la forma $q$ associata a quella matrice è $4x^2-4xy+2xz+4y^2$
Consideriamo la base canonica di $RR^3$ e verifichiamo se $e_1$ è non isotropo. Lo è infatti $q(e_1)=4$

Allora $RR^3=oplus^(\bot)$ dove $^(\bot)={vinRR^3|b(e_1,v)=0}$. Ovviamente $b$ è la forma polare di $q$. Esplicitamente $b((x_1,y_1,z_1)(x_2,y_2,z_2))=4x_1x_2-2x_1y_2+x_1z_2-2y_1x_2+4y_1y_2+y_1z_2+z_1z_2+z_1y_2$ se i conti non sono sbagliati. Ottieni quindi il sistema lineare $4x-2y+z=0$ cioè $z=2y-4x$ quindi $^(\bot)=<(1,0,-4),(0,1,2)>$.

Ora chiamiamo $v_1$ il vettore non isotropo (esiste sempre...), allora $^(\bot)=oplus^(\bot)$ ove $={v=(x,y,2y-4x)in^(\bot)|b(v,v_1)=0}$

e così fino a che non avrai trovato i $3$ vettori ortogonali tra loro, scrivi la matrice associata ed ottieni la segnatura