Forma quadratica

[davide51]

Sto avendo delle difficoltà ad apprendere a pieno il concetto di forma quadratica...e in particolar modo la relazione che c'è tra le forme quadratiche e le forme bilineari.

Espongo cosa ho capito e vediamo se è corretto.

Una forma quadratica su uno spazio vettoriale è un polinomio omogeneo di secondo grado in $n$ variabili...ovvero $f(x)=ax^2$

Una forma bilineare è un applicazione lineare tale che $ s: V x V -> RR$

Da quello che ho intuito una forma quadratica è una forma bilineare simmetrica.

giusto???

[killing_buddha]

"davide5":Una forma quadratica su uno spazio vettoriale è un polinomio omogeneo di secondo grado in $n$ variabili...ovvero $f(x)=ax^2$

No; una forma quadratica su $V$ spazio vettoriale su $K$ è una funzione $q : V \to K$ tale che se $a\in K$ è uno scalare, allora $q(av)=a^2q(v)$ per ogni $v\in V$. Poi, dopo, questo implica che se scegli una base di $V$, esso si scriverà come un polinomio omogeneo di grado 2 nelle coordinate di $v$, diciamo $X_0,...,X_n$ se $V$ ha dimensione $n$ su $K$. Ma la definizione è la prima. Tanto più che quello che hai scritto tu è un polinomio estremamente particolare (e chi è $x$?), su uno spazio di dimensione 1, insomma, hai scritto una cosa, pensando di scriverne un'altra, e intendendola come la vera definizione di una terza cosa diversa da entrambe

Una forma bilineare è un applicazione lineare tale che $ s: V x V -> RR$

Un'altra volta, no. Una applicazione lineare con dominio $V\times V$ è una funzione (tra le altre proprietà) per cui $s(a(v_1,v_2)) = s(av_1, av_2)=as(v_1,v_2)$; la bilinearità è una condizione diversa: $s$ è bilineare quando $s(av,w)=s(v,aw)=as(v,w)$ e quando $s(v+v',w)=s(v,w)+s(v',w)$, $s(v,w+w')=s(v,w)+s(v,w')$. Questa proprietà implica che l'assegnazione \(v\mapsto s(v,.)\) definisce una mappa $V\to \hom(V,RR)$, cosa falsa se $s : V\times V\to RR$ fosse semplicemente lineare.

[killing_buddha]

La ragione per cui lo spazio dei polinomi omogenei di grado $r$, chiamiamolo \(K[X_1,...,X_n]_{\text{h},r}\), è isomorfo a quello delle applicazioni $r$-lineari simmetriche \(\mathcal{S}^r(V)\) è l'esistenza della "mappa di polarizzazione" che per il grado 2 dice che mandare $q : V \to K$ quadratica in
\[
\bar q (x,y) = \frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))
\] definisce una mappa \(K[X_1,...,X_n]_{\text{h},r} \to \mathcal{S}^r(V)\); viceversa, se $g : V\times V\to K$ è bilineare, mandare $g$ in $g \circ\Delta : V\overset{\Delta}\to V\times V\to K$ definisce una forma quadratica su $K$. E' facile dimostrare che queste due mappe sono (lineari) e una inversa dell'altra.