Forma canonica razionale

[gloria19881]

Allora mi ritrovo di fronte a questo problema.

Data una matrice A=$((5,0,0),(1,5,0),(0,0,5))$, determinare la sua forma canonica razionale.

Allora io ho inziziato osservando che la matrice A non è in forma scalare e di conseguenza deg(min(A))>1. Successivamente scrivo la suddetta equazione :

$A^2$+$k_1$A+$k_0$$A^0$=0 e scrivo le relative matrici che risultano essere:


$((25,0,0),(10,25,0),(0,0,25))$+$((5k_1,0,0),(k_1,5k_1,0),(0,0,5k_1))$+$((k_0,0,0),(0,k_0,0),(0,0,k_0))$=0

Svolgo i calcoli e risulta la seguente matrice:

$((25+5k_1+k_0,0,0),(10+k_1,25+5k_1+k_0,0),(0,0,25+5k_1+k_0))$=0

Dalla seguente matrice ricavo che $k_1$=-10 e $k_0$=25

da cui il min di A = $x^2$-10x+25= $d_t$(x)=$(x-5)^2$

ora t=2 $d_1$(x)/$(x-5)^2$ e deg ($d_1$(x))=1

Quindi trovo $d_1$(x)=(x-5) e $d_2$(x)=$ (x-5)^2$ da cui la forma canonica razionale è :

$A^1$=$((5,0,0),(0,0,-25),(0,1,10))$

Ora le mie domande sono:

1-come faccio a scrivere la prima equazione $A^2$+$k_1$A+$k_0$$A^0$=0???Scrivo tale equazione perchè abbiamo detto che la matrice non essendo scalare non può avere un polinomio minimo di grado 1?????

2- Cosa vuol dire t=2 e come faccio a scrivere $d_1$ e $d_2$????

Grazie in anticipo per le risposte.

[cirasa]

Rispondo al punto 1)
Come saprai, le notazioni non sono univoche. Dovresti spiegare cosa intendi per ognuno dei simboli che usi.
Se non ricordo male, all'inizio si cerca il polinomio minimo di $A$.
Esso è definito come il polinomio $P(x)$ monico di grado $t$ tale che $P(A)=0$ e tale che $Q(A)!=0$ per ogni polinomio di grado $s Per un risultato noto (credo che si chiami teorema di Hamilton-Cayley-Frobenius), $P(x)$ divide il polinomio caratteristico che in questo caso è $P_A(x)=(x-5)^3$.
Quindi $P(x)=(x-5)^t$, con $t\in{1,2,3}$.

Calcoli $A-5I$ e osservi che è diverso da $0$, perchè "$A$ non è in forma scalare" (se con questo intendi che "$A$ non è diagonale").
Calcoli $(A-5I)^2$ e osservi che è uguale a zero quindi il polinomio minimo è $x^2-10x+25$.

Per il punto 2) non ti rispondo per due motivi.
Il primo è che, come ho detto prima, non so che tipo di notazioni tu stia usando e cosa stai indicando con quei simboli.
Il secondo motivo (che è quello principale) è che non mi ricordo bene queste questioni...e vorrei evitare di dire corbellerie!