Forma canonica quadriche euclidee
salve ragazzi l'esercizio mi chiede data la seguente quadrica $Q: : 3x^2+2y^2+2xz+3z^2+4=0$ 1)determinare il suo tipo affine e la forma canonica affine e 2)vista come quadrica complessa qual è la sua forma canonica?
ho visto che il rango della sottomatrice è 3, il determinante della matrice originaria 4x4 è 64 che è positivo , e che gli autovalori della matrice 3x3 sono concordi e quindi si tratta di un ellissoide immaginario , infatti alla fine da cambio di coordinate riesco a trovare l'equazione $x_1^2/2+y_1^2/2 +z_1^2=-1$
posso concludere quindi che la sua forma canonica affine è l'insieme vuoto (visto che in $\mathbbR$ non ci sono soluzioni ) mentre vista come quadrica complessa si tratta di un ellissoide immaginario con forma canonica $x_1^2/2+y_1^2/2 +z_1^2=-1$ ? grazie mille dell'aiuto
.
ho visto che il rango della sottomatrice è 3, il determinante della matrice originaria 4x4 è 64 che è positivo , e che gli autovalori della matrice 3x3 sono concordi e quindi si tratta di un ellissoide immaginario , infatti alla fine da cambio di coordinate riesco a trovare l'equazione $x_1^2/2+y_1^2/2 +z_1^2=-1$
posso concludere quindi che la sua forma canonica affine è l'insieme vuoto (visto che in $\mathbbR$ non ci sono soluzioni ) mentre vista come quadrica complessa si tratta di un ellissoide immaginario con forma canonica $x_1^2/2+y_1^2/2 +z_1^2=-1$ ? grazie mille dell'aiuto
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Risposte
Immaginario è sicuramente, visto che anche senza controllare i tuoi conti si può rapidamente completare il quadrato e ottenere
\[
2x^2 +2y^2 +2z^2 +(x+z)^2+4=0, \]
e al membro sinistro c'è una quantità strettamente positiva. Quindi di sicuro non ci sono punti reali.
\[
2x^2 +2y^2 +2z^2 +(x+z)^2+4=0, \]
e al membro sinistro c'è una quantità strettamente positiva. Quindi di sicuro non ci sono punti reali.
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