Forma canonica di una forma quadratica: traformazione ortogonale
Ciao a tutti ! Ho dei dubbi riguardo al procedimento che serve a determinare una forma canonica della forma quadratica.
L'esercizio dice
Data una forma \( \phi = x^2+y^2+2z^2-4xy+2xz-2yz \) ridurla a forma canonica con una trasformazione ortogonale.
Ho trovato la matrice della forma che risulta essere
\( \begin{Vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{Vmatrix} \)
Ora ho calcolato il polinomio caratteristico della matrice \( p(\lambda)= -(1+\lambda)(\lambda-1)(\lambda-4) \) e quindi gli autovalori che risultano essere
1,4, -1
Quindi il libro dice che la forma canonica è
\( \phi= X^2+4Y^2-Z^2 \)
Ecco in questa fase ha importanza l'ordine in cui considero gli autovalori? Perchè scambiandone l'ordine cambiano i coeff
della forma canonica... :/
Poi ho calcolato gli autospazi e questi sono
- per l'autovalore 1 ---> (1, -1, 2) = U1
- per l'autovalore 4 ---->(1, -1, 1) = U2
- per l'autovalore -1 ---> ( (1,1,0) = U3
Ora il libro dice che il sistema di vettori \( U1, U2, U3 \) costituisce una base ortogonale. Ma perchè?
Come faccio a vederlo? Per esempio mi sono aiutata con l'equazione matriciale della forma bilineare
\( \varphi (x,y) = tXAY \)
\( \varphi (U1,U2) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
e siccome il prodotto tra matrici viene 0 allora sono ortogonali . Analogamente poi controllo \( \varphi (U1,U3) \varphi (U2,U3) \) .
Devo controllare anche \( \varphi (U2,U1) \varphi (U3,U2)\varphi (U3,U1) \) oppure no perchè stiamo parlando di
forme quadratiche e quindi forme associate a forme bilineari simmetriche?
Grazie
L'esercizio dice
Data una forma \( \phi = x^2+y^2+2z^2-4xy+2xz-2yz \) ridurla a forma canonica con una trasformazione ortogonale.
Ho trovato la matrice della forma che risulta essere
\( \begin{Vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{Vmatrix} \)
Ora ho calcolato il polinomio caratteristico della matrice \( p(\lambda)= -(1+\lambda)(\lambda-1)(\lambda-4) \) e quindi gli autovalori che risultano essere
1,4, -1
Quindi il libro dice che la forma canonica è
\( \phi= X^2+4Y^2-Z^2 \)
Ecco in questa fase ha importanza l'ordine in cui considero gli autovalori? Perchè scambiandone l'ordine cambiano i coeff
della forma canonica... :/
Poi ho calcolato gli autospazi e questi sono
- per l'autovalore 1 ---> (1, -1, 2) = U1
- per l'autovalore 4 ---->(1, -1, 1) = U2
- per l'autovalore -1 ---> ( (1,1,0) = U3
Ora il libro dice che il sistema di vettori \( U1, U2, U3 \) costituisce una base ortogonale. Ma perchè?
Come faccio a vederlo? Per esempio mi sono aiutata con l'equazione matriciale della forma bilineare
\( \varphi (x,y) = tXAY \)
\( \varphi (U1,U2) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
e siccome il prodotto tra matrici viene 0 allora sono ortogonali . Analogamente poi controllo \( \varphi (U1,U3) \varphi (U2,U3) \) .
Devo controllare anche \( \varphi (U2,U1) \varphi (U3,U2)\varphi (U3,U1) \) oppure no perchè stiamo parlando di
forme quadratiche e quindi forme associate a forme bilineari simmetriche?
Grazie
Risposte
Gli autovettori di una matrice simmetrica associati a differenti autovalori sono ortogonali tra loro, ovvero formano una base ortogonale (come conseguenza del teorema spettrale). Detto ciò non serve che fai il controllo 
Ok, grazie mille Emar , chiarissimo 
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