Forma canonica di Jordan e molteplicità geometrica.

[halfdead]

Sarei grato se qualcuno potesse dimostrarmi il seguente fatto:

Data una matrice quadrata A d'ordine n su un campo F in forma canonica di Jordan (lo spettro di A è dunque in F), il numero di blocchi di Jordan relativi ad un dato autovalore t di A è uguale alla molteplicità geometrica di t, cioè la dimensione dell'autospazio di t relativo ad A.

Per ogni blocco di Jordan relativo a t si ha che la prima colonna del blocco è l'immagine di un vettore della base canonica di F^n, che è quindi un autovettore di autovalore t. Dal momento che i vettori della base canonica di F^n sono linearmente indipendenti è ovvio che il numero di blocchi di Jordan relativi a t è minore od uguale alla molteplicità geometrica di t. come dimostrare che tali autovettori generano l'autospazio di t?

[maurer]

Considera una base formata da autovettori generalizzati relativi a [tex]t[/tex]. Se [tex]\bold v[/tex] è un autovettore generalizzato di ordine [tex]k[/tex], allora sappiamo che [tex]bold v[/tex], [tex]A \bold v[/tex], ..., [tex]A^k \bold v[/tex] sono indipendenti e formano un sottospazio relativo ad un blocco della matrice. Inoltre, [tex]A^k \bold v \in \ker (A - t I)[/tex].
Ne segue che possiamo contare il numero di blocchi andando a guardare qual è la dimensione di [tex]\ker (A - t I)[/tex] e quindi il numero di blocchi è uguale alla molteplicità geometrica di [tex]t[/tex].