Forma canonica di Jordan.

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Zkeggia
Zkeggia
11 gen 2010, 16:54
Salve, sto preparando algebra lineare e ho un problema con le forme canoniche di Jordan. Infatti se il polinomio caratteristico di una matrice data ha un solo autovalore, allora ok non ho problemi a calcolare la forma di Jordan e tutto il resto, il problema nasce quando ho due o più autovalori, li mi blocco. Per esempio, data la matrice:

$M=((2,3,3,3),(0,2,0,2),(0,1,4,2),(0,0,0,4))$
determinarnee la forma di Jordan. Al che il polinomio caratteristico è $(x-2)^2*(4-x)^2$. Per trovare il polinomio minimo come faccio? ho provato a scrivere $(M-2*I)^h*(M-4*I)^k$, 0
Risposte
franced
franced
11 gen 2010, 16:13
"Zkeggia":

$M=((2,3,3,3),(0,2,0,2),(0,1,4,2),(0,0,0,4))$
determinarne la forma di Jordan.


Gli autovalori della matrice sono $lambda_1 = 2$ e $lambda_2 = 4$, entrambi con molteplicità 2.

Analizza il ker di $M - 2 I$ e il ker di $M - 4 I$ .
Zkeggia
Zkeggia
11 gen 2010, 16:35
la dimensione del Ker di $M-2I$ è 1, ed il vettore $e_1$ è base di tale kernel. Per la matrice $M-4I$, il ker ha dimensione 2, e i vettori: $v_1= (1,-3,10,0)$ e $v_2=(0,-3,10,1)$ sono base. Poi che faccio?
Zkeggia
Zkeggia
11 gen 2010, 17:07
Rileggendo la teoria e verificando su internet credo (o spero) di aver capito. Allora quando il polinomio caratteristico è prodotto di più polinomi, si avranno ovviamente $k$ autovalori $lambda_k$ al che si considerano le varie $g_k= f - lambda_k*I$ ristrette ai sottospazi $g_k$ invarianti. A questo punto si avranno $k$ funzioni nilpotenti e si può trovare una base ciclica ecc ecc. Dopodiché si uniscono le basi cicliche e si ottiene la base totale. In questa base la matrice sarà in forma di Jordan.
Quindi se calcolo la molteplicità geometrica di $f-2*I$ otterrò il numero dei blocchi di Jordan, in questo caso 1. Invece per quanto riguarda $f-4*I$ ho che la m.g. è 2, e la molteplicità algebrica pure. Allora esistono due blocchi di Jordan di taglia 1, quindi avrò:

$M_j=((2,1,0,0),(0,2,0,0),(0,0,4,0),(0,0,0,4))$

È giusto? spero di sì! nel caso mi puoi scrivere una matrice così provo a calcolare la forma di Jordan, e verifico che mi riesce.

Altra domanda: ma se non sono in una situazione così semplice, per esempio ho una matrice più grande con un autovalore $lambda$ magari di molteplicità algebrica 4, mi serve anche sapere la dimensione del blocco di Jordan di taglia massima, per farlo devo restringere la funzione all'autospazio e calcolare l'ordine di nilpotenza di $f-lambda*I$? Oppure devo trovare lo spazio f-invariante tale che la matrice associata alla funzione ristretta a quell'autospazio sia triangolabile e abbia come unico autovalore 4? nel caso come si procede?
franced
franced
11 gen 2010, 22:15
"franced":
[quote="Zkeggia"]
$M=((2,3,3,3),(0,2,0,2),(0,1,4,2),(0,0,0,4))$
determinarne la forma di Jordan.


Gli autovalori della matrice sono $lambda_1 = 2$ e $lambda_2 = 4$, entrambi con molteplicità 2.

Analizza il ker di $M - 2 I$ e il ker di $M - 4 I$ .[/quote]

La forma di Jordan è

[tex]\left( \begin{array}{cccc}
2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 4
\end{array} \right)[/tex]
Zkeggia
Zkeggia
11 gen 2010, 23:10
non mi torna, la molteplicità geometrica dell'autovalore due non è 1?
franced
franced
12 gen 2010, 18:17
Appunto, se la molteplicità geometrica di un autovalore è 1 trovi un autospazio
di dimensione 1.
Zkeggia
Zkeggia
12 gen 2010, 18:21
allora la molteplicità geometrica dell'autovalore due è 1 e va bene, ma quella dell'autovalore 4 è 2, quindi ci sono due blocchi di jordan di taglia 1.
franced
franced
12 gen 2010, 18:23
Rifai i calcoli, a me torna che la molteplicità geometrica dell'autovalore 4 è = 1.
Zkeggia
Zkeggia
12 gen 2010, 18:26
sì ora torna anche a me avevo fatto un errore di calcolo... grazie
franced
franced
12 gen 2010, 18:26
Prego!
franced
franced
12 gen 2010, 18:28
Prego!
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