Forma canonica di Jordan
Ciao a tutti ragazzi, non riesco a capire una cosa.
Ad esempio data una matrice mi calcolo gli autovalori,
ho capito che quando un autovalore "h" ha molteplicità geometrica ad esempio 2 e molteplicità algebrica 2
significa che ci sono 2 blocchi relativi all'autovalore h e ogni blocco ha ordine 1 necessariamente in questo caso.
Non capisco però nel caso in cui io avessi un autovalore con molteplicità geometrica 2 quindi 2 blocchi, e molteplicità algebrica 3, ciò significa che questi 2 blocchi devono avere necessariamente uno ordine 2 e l'altro ordine 1.
Come faccio a sapere qual'è il blocco con ordine 2 e quello con ordine 1?
Posso metterli casualmente nella matrice?
Grazie in anticipo
Ad esempio data una matrice mi calcolo gli autovalori,
ho capito che quando un autovalore "h" ha molteplicità geometrica ad esempio 2 e molteplicità algebrica 2
significa che ci sono 2 blocchi relativi all'autovalore h e ogni blocco ha ordine 1 necessariamente in questo caso.
Non capisco però nel caso in cui io avessi un autovalore con molteplicità geometrica 2 quindi 2 blocchi, e molteplicità algebrica 3, ciò significa che questi 2 blocchi devono avere necessariamente uno ordine 2 e l'altro ordine 1.
Come faccio a sapere qual'è il blocco con ordine 2 e quello con ordine 1?
Posso metterli casualmente nella matrice?
Grazie in anticipo
Risposte
La forma canonica di Jordan di endomorfismi di spazi vettoriali su campi algebricamente chiusi è
'essenzialmente unica', nel senso di una permutabilità qualsiasi dei 'blocchi di Jordan'.
Similmente, la forma pseudocanonica di endomorfismi di spazi vettoriali sul campo reale è 'essenzialmente unica',
nel senso di una permutabilità dei 'blocchi' e degli 'pseudoblocchi'.
Considerando una matrice in forma canonica di Jordan,
il numero di blocchi J(h) relativi all' autovalore h è eguale alla molteplicità geometrica dell' autovalore,
siccome ciascun blocco J(h) presenta una e una sola colonna del tipo \(\displaystyle h*e^j \),
eguagliando, tutte insieme, il numero di colonne della base canonica considerabili autovettori rispetto ad h.
Infine, la somma degli ordini dei blocchi J(h) è eguale alla molteplicità algebrica del medesimo autovalore,
siccome il polinomio caratteristico della matrice considerata è eguale al prodotto dei polinomi caratteristici di
ciascun blocco di Jordan
e l' ordine di ciascun blocco di Jordan è eguale alla molteplicità della radice caratteristica del suo polinomio caratteristico.
Ripeto: la somma degli ordini di \(\displaystyle J_i (h) \) coincide con la somma delle molteplicità di h per ciascun
polinomio caratteristico dei diversi \(\displaystyle J_i (h) \), e il prodotto dei polinomi caratteristici di ciascun blocco rispetto a ciascun autovalore individua il polinomio caratteristico dell' intera matrice considerata
(da cui la molteplicità algebrica di ciascuna radice caratteristica).
'essenzialmente unica', nel senso di una permutabilità qualsiasi dei 'blocchi di Jordan'.
Similmente, la forma pseudocanonica di endomorfismi di spazi vettoriali sul campo reale è 'essenzialmente unica',
nel senso di una permutabilità dei 'blocchi' e degli 'pseudoblocchi'.
Considerando una matrice in forma canonica di Jordan,
il numero di blocchi J(h) relativi all' autovalore h è eguale alla molteplicità geometrica dell' autovalore,
siccome ciascun blocco J(h) presenta una e una sola colonna del tipo \(\displaystyle h*e^j \),
eguagliando, tutte insieme, il numero di colonne della base canonica considerabili autovettori rispetto ad h.
Infine, la somma degli ordini dei blocchi J(h) è eguale alla molteplicità algebrica del medesimo autovalore,
siccome il polinomio caratteristico della matrice considerata è eguale al prodotto dei polinomi caratteristici di
ciascun blocco di Jordan
e l' ordine di ciascun blocco di Jordan è eguale alla molteplicità della radice caratteristica del suo polinomio caratteristico.
Ripeto: la somma degli ordini di \(\displaystyle J_i (h) \) coincide con la somma delle molteplicità di h per ciascun
polinomio caratteristico dei diversi \(\displaystyle J_i (h) \), e il prodotto dei polinomi caratteristici di ciascun blocco rispetto a ciascun autovalore individua il polinomio caratteristico dell' intera matrice considerata
(da cui la molteplicità algebrica di ciascuna radice caratteristica).
Spero che dopo nove mesi avesse trovato la risposta da qualche altra parte! 
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