Forma bilineare su $M_n(RR)$

[Angus1956]

Sia $n$ un intero positivo, sia $V=M_n(RR)$ e sia $A$ una matrice simmetrica di ordine $n$. Per $X, Y ∈ V$, si definisce: $B(X,Y)=Tr(X^TAY)$
Dimostrare che se $B$ è non degenere allora la matrice $A$ è invertibile.
Io facendo delle prove con le matrici ho notato che (chiamata $C$ la matrice della forma bilineare simmetrica $B$ rispetto alla base canonica di $M_n(RR)$) $detC=(detA)^n$ da cui seguirebbe la tesi ma vorrei una dimostrazione dell'esercizio rigorosa ovvero "senza fare prove" anche perché con le matrici $3xx3$ risulta abbastanza difficile senza un calcolatore di matrici notare che $detC=(detA)^3$

[Lebesgue]

Domanda: essendo $B$ un numero (poiché è la traccia di una matrice), che significa "B non degenere"?
Forse volevi dire $B\ne 0$?

[Angus1956]

"Lebesgue":Domanda: essendo $B$ un numero (poiché è la traccia di una matrice), che significa "B non degenere"?
Forse volevi dire $B\ne 0$?

No, con B si intende la forma bilineare che è definita in quel modo, perciò dice appunto quando la forma bilineare B è non degenere

[megas_archon]

B non è un numero, B(X, Y) è un numero.

B è una applicazione bilineare. È non degenere quando B(X, -) = 0 implica X = 0.

[Bokonon]

@Megas, anch'io sono un po' perplesso come Lebesgue.
$ X=( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) $
$ Y=( ( 1 , 1 ),( -1 , -1 ) ) $
$ A=( ( 2 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $

$X^tAY=0$

[Martino]

"andreadel1988":Sia $n$ un intero positivo, sia $V=M_n(RR)$ e sia $A$ una matrice simmetrica di ordine $n$. Per $X, Y ∈ V$, si definisce: $B(X,Y)=Tr(X^TAY)$
Dimostrare che se $B$ è non degenere allora la matrice $A$ è invertibile.

Se $A$ non è invertibile allora esiste un vettore colonna non nullo $v$ tale che $v^T A=0$ (in altre parole $v$ determina una dipendenza lineare delle righe di $A$). Sia $X$ la matrice le cui colonne sono tutte uguali a $v$, allora $X^T A=0$, quindi $B(X,Y)=0$ per ogni $Y$, tuttavia $X ne 0$.

Mi sembra più interessante fare l'altra direzione, cioè mostrare che se $A$ è invertibile allora $B$ è non degenere.

[Angus1956]

"Martino":[quote="andreadel1988"]Sia $n$ un intero positivo, sia $V=M_n(RR)$ e sia $A$ una matrice simmetrica di ordine $n$. Per $X, Y ∈ V$, si definisce: $B(X,Y)=Tr(X^TAY)$
Dimostrare che se $B$ è non degenere allora la matrice $A$ è invertibile.

Se $A$ non è invertibile allora esiste un vettore colonna non nullo $v$ tale che $v^T A=0$ (in altre parole $v$ determina una dipendenza lineare delle righe di $A$). Sia $X$ la matrice le cui colonne sono tutte uguali a $v$, allora $X^T A=0$, quindi $B(X,Y)=0$ per ogni $Y$, tuttavia $X ne 0$.

Mi sembra più interessante fare l'altra direzione, cioè mostrare che se $A$ è invertibile allora $B$ è non degenere.[/quote]
L'altra direzione è molto più semplice basta prendere $X∈radB$, si ha quindi che $B(X,Y)=0$ $AAY∈M_n(RR)$. In particolare scelgo $Y=A^-1X$ cosicché: $0=B(X,A^-1X)=Tr(X^TA A^-1X)=Tr(X^TX)=\sum_{i,j=1}^n x_{i,j}^2$ da cui necessariamente $X=0$ e quindi $B$ non degenere.
Comunque nella tua dimostrazione posso anche usare il fatto che siccome supponi $A$ non invertibile allora $EEv∈KerA$ diverso dal vettore nullo e quindi si ha $Av=0$, quindi prendo la matrice $Y$ le cui colonne sono tutte uguali al vettore $v$ da cui $AY=0$ e quindi $B(X,Y)=0$ $AAX∈M_n(RR)$ ma $Y ne 0$. Giusto?

[Martino]

"andreadel1988":Giusto?

Sì.

[Angus1956]

"Martino":[quote="andreadel1988"]Giusto?

Sì.[/quote]
Ok Grazie mille dell'aiuto