Forma bilineare simmetrica e non degenere
Sia $M_(2xx2)(RR)$ lo spazio vettoriale delle matrici 2x2 a elementi in R. Mostrare che $\beta:M_(2xx2)RRxxM_(2xx2)RR->RR$ tale che $\beta(X,Y)=tr(XY)$, è una forma bilineare simmetrica non degenere. Determinare la segnatura.
Allora per quanto riguarda il dimostrare che la forma bilineare sia simmetrica, ho sfruttata la proprietà commutativa della traccia ovvero $tr(XY)=tr(YX)$. Mentre alcuni problemi e dubbi sono sorti nel secondo punto, ovvero dimostrare che la forma bilineare fosse non degenere. Ho pensato che il sottospazio vettoriale ${\beta(X,Y)=tr(XY)=0}$ dovesse essere vuoto. Ho preso quindi due matrici generiche $X=((a,b),(c,d))$ e $Y=((e,f),(g,h))$ e ne ho calcolato $tr(XY)=0$ quindi: $(a+d)(e+h)=0$ che vale per $d=-a , h=-e$. Non ho ancora dimostrato che sia non degenere ma secondo voi, il ragionamento è giusto? Mi potete dare qualche consiglio, procedimento? Grazie mille ragazzi!
Allora per quanto riguarda il dimostrare che la forma bilineare sia simmetrica, ho sfruttata la proprietà commutativa della traccia ovvero $tr(XY)=tr(YX)$. Mentre alcuni problemi e dubbi sono sorti nel secondo punto, ovvero dimostrare che la forma bilineare fosse non degenere. Ho pensato che il sottospazio vettoriale ${\beta(X,Y)=tr(XY)=0}$ dovesse essere vuoto. Ho preso quindi due matrici generiche $X=((a,b),(c,d))$ e $Y=((e,f),(g,h))$ e ne ho calcolato $tr(XY)=0$ quindi: $(a+d)(e+h)=0$ che vale per $d=-a , h=-e$. Non ho ancora dimostrato che sia non degenere ma secondo voi, il ragionamento è giusto? Mi potete dare qualche consiglio, procedimento? Grazie mille ragazzi!
Risposte
Non mi vengono in mente altre procedure; forse considerare la matrice associata a $\beta$ rispetto a una base $B$ qualsiasi? Ma in che modo dovrei agire?
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