Forma bilineare simmetrica

[Uqbar]

Ciao a tutti.

In un esercizio relativo alle forme bilineari simmetriche, mi è stata assegnata la seguente forma bilineare simmetrica in $R^3$:

$f((x1, x2, x3) (y1, y2, y3)) = 3 x2y2 + 3x1y3 + 3x3y1 $

Vengono richiesti: la forma quadratica q associata ad f, rango e segnatura di q, un riferimento canonico per q (ed f) e di scrivere q ed f in tale riferimento.

I primi due punti li ho risolti facilmente, con l'ausilio del polinomio caratteristico e degli autovalori. La mia perplessità riguarda l'ultimo punto: che s'intende per "riferimento canonico per q"? C'è forse qualche passaggio della teoria che mi manca?

Un ringraziamento di cuore a chi vorrà essermi utile.

[marco.bre]

"Uqbar":I primi due punti li ho risolti facilmente, con l'ausilio del polinomio caratteristico e degli autovalori. La mia perplessità riguarda l'ultimo punto: che s'intende per "riferimento canonico per q"? C'è forse qualche passaggio della teoria che mi manca?

Credo che per riferimento canonico per $q$ si intenda la trasformazione affine che manda la forma quadratica nella sua forma canonica; o meglio, trovata tale trasformazione la componente di traslazione ti dà una nuova origine che, insieme alla base ortonormale che diagonalizza la forma bilineare, definisce un sistema di riferimento rispetto al quale la forma quadratica associata alla forma bilineare simmetrica è in forma canonica.