Forma bilineare e operatore aggiunto

Persona6
Di nuovo ciao. Chiedo scusa per i molti post ma ho molti dubbi e l'esame si avvicina :D
Stavolta l'esercizio è il seguente:

Sia data l'applicazione $varphi_(h, k) : RR^2 xx RR^2 rarr RR$ tale che

$varphi_(h, y)(x, y) = (2 − h)x_1y_1 + kx_1y_2 − k^3x_2y_1 + (4 − h_2)x_2y_2$

a) Determinare per quali h e k $varphi_(h, k)$ definisce un prodotto scalare definito positivo.
b) Per h = 1, trovare l'aggiunto dell'endomorfismo di $RR^2$ $f(z, t) = ((-t), (2z+3t))$ rispetto al prodotto scalare definito in precedenza.

Allora, io procedo verificando le proprietà della forma. Scrivo la matrice associata:

$ℳ_(varphi) = ((2-h, k), (-k^3, 4-h^2))$

Chiaramente la forma è bilineare e affinché sia simmetrica deve essere $k=0$.
Calcolo il polinomio caratteristico:

$chi_ℳ=det(ℳ_(varphi)-lambdaI_n)=det((2-h-lambda, k),(-k^3, 4-h^2-lambda))$

e trovo che affinché le radici siano positive, deve essere $h>2$.
Questo dovrebbe concludere la prima parte dell'esercizio.

Sul punto b invece non so che fare. In classe non abbiamo mai fatto niente di simile e su internet non trovo niente. Ho provato ad applicare la definizione di operatore aggiunto ma non me la cavo.

Chi mi sa indicare la via? :-D

Edit: posto i miei calcoli.

Dalla definizione di operatore aggiunto $ =$ passo alle matrici rappresentative: $ =$.
Calcolando la matrice A rispetto alla base canonica ottengo

$A=((0, -1),(2, 6))$

Il membro sinistro dell'uguaglianza si espande quindi come $<((0, -1),(2, 6))((1),(0)),((0),(1))>$ e dopo un po' di calcoli arrivo al vettore $((0), (6))$.

Il membro destro invece, se considero una generica matrice $B=((b_1, b_2), (b_3, b_4))$, mi dà come risultato $b_2$. Quindi so di sbagliare qualcosa...

Risposte
Studente Anonimo
Studente Anonimo
Prova così, applicando semplicemente la definizione:

$[((x_2,y_2))((1,0),(0,3))((0,-1),(2,3))((x_1),(y_1))=((x_1,y_1))((1,0),(0,3))((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))((x_2),(y_2))] rarr$

$rarr [((x_2,y_2))((1,0),(0,3))((0,-1),(2,3))((x_1),(y_1))=((x_2,y_2))((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))^t((1,0),(0,3))((x_1),(y_1))] rarr$

$rarr [((1,0),(0,3))((0,-1),(2,3))=((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))^t((1,0),(0,3))] rarr$

$rarr [((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))^t=((1,0),(0,3))((0,-1),(2,3))((1,0),(0,3))^(-1)] rarr$

$rarr [((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))=((1,0),(0,1/3))((0,2),(-1,3))((1,0),(0,3))] rarr$

$rarr [((a_(11),a_(12)),(a_(21),a_(22)))=((0,6),(-1/3,3))]$

Persona6
Grazie mille! Proprio mentre postavo il mio sgorbio. Qualche secondo e mi avresti risparmiato l'imbarazzo :-D

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Mi dispiace, non l'ho fatto a posta. :-)

Colgo l'occasione per informarti che, nel messaggio precedente, ho commesso un errore nel calcolo della matrice inversa. Ad ogni modo, ho corretto proprio in quella sede. Inoltre, ti informo che puoi procedere anche determinando una matrice che rappresenta l'endomorfismo di partenza rispetto a una base ortonormale:

$[vec(e_1)=((1),(0)) ^^ vec(e_2)=((0),(sqrt3/3))] rarr [f=((1,0),(0,sqrt3/3))^(-1)((0,-1),(2,3))((1,0),(0,sqrt3/3))=((0,-sqrt3/3),(2sqrt3,3))]$

Quindi, ricordando che la matrice trasposta rappresenta l'endomorfismo aggiunto rispetto alla medesima base:

$f^t=((0,2sqrt3),(-sqrt3/3,3))$

tornare a rappresentare quest'ultimo rispetto alla base naturale:

$[f^t=((1,0),(0,sqrt3/3))((0,2sqrt3),(-sqrt3/3,3))((1,0),(0,sqrt3/3))^(-1)=((0,6),(-1/3,3))]$

Persona6
Davvero chiarissimo. Obrigado!

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