Forma bilineare
Scrivere esplicitamente la forma bilineare associata ad A0 e vedere se e de nita
positiva.
NON CAPISCO DA VOVE PRENDE IL VETTORE w...
positiva.
NON CAPISCO DA VOVE PRENDE IL VETTORE w...
Risposte
Per definizione, una forma quadratica è definita positiva se
[tex]\forall \textbf{v} \in V^* : q(\textbf{v}) > 0[/tex]
Allora prende un vettore ("a occhio") e mostra che [tex]q(\textbf{w}) < 0[/tex]. Perché basta far vedere che è < 0 per un vettore qualsiasi (ovviamente però [tex]\in V^*[/tex]) afiinché la forma non sia positiva. Quindi [tex]\textbf{w}[/tex] diciamo che l'ha scelto a caso.
C'è comunque almeno un metodo per definire se una forma è positiva/ semipositiva, negativa/ seminegativa, indefinita ... più generico e rigoroso di questo. (Nel tuo caso quello che ti hanno proposto va comunque benissimo perché bastava verificare la positività).
Ely
[tex]\forall \textbf{v} \in V^* : q(\textbf{v}) > 0[/tex]
Allora prende un vettore ("a occhio") e mostra che [tex]q(\textbf{w}) < 0[/tex]. Perché basta far vedere che è < 0 per un vettore qualsiasi (ovviamente però [tex]\in V^*[/tex]) afiinché la forma non sia positiva. Quindi [tex]\textbf{w}[/tex] diciamo che l'ha scelto a caso.
C'è comunque almeno un metodo per definire se una forma è positiva/ semipositiva, negativa/ seminegativa, indefinita ... più generico e rigoroso di questo. (Nel tuo caso quello che ti hanno proposto va comunque benissimo perché bastava verificare la positività).
Ely
Ely grazie. Quindi il vettore w \in V^* ovviamente. Però siccome non ho un buon libro non riesco a capire l altro metodo. Se esiste un metodo standar potresti spiegarmelo in grandi linee..
1) Matricialmente: scrivi il [tex]det(A - \lambda I)[/tex] (dove A è la matrice che rappresenta la forma bilineare), trovato il polinomio caratteristico determini gli autovalori.
Se questi sono tutti > 0 / < 0 [tex]\rightarrow[/tex] la forma è definita positiva/negativa;
Se sono tutti [tex]\ge / \le 0 \rightarrow[/tex] la forma è semidefinita positiva/ semidefinita negativa;
Altrimenti è indefinita.
[Questo per il teorema secondo cui "Una matrice simmetrica reale [tex]A \in Mat_n(R)[/tex] è definita positiva se e solo se tutti i suoi autovalori sono positivi etc ... "
2) Utilizzi la definizione: scrivi la forma quadratica associata alla forma bilineare e valuti, ad esempio nel tuo caso, se è sempre [tex]\ge[/tex] e se è = 0 solo quando il [tex]x=y=z=0[/tex] cioè quando [tex]\textbf{v}[/tex] è il vettor nullo. Allora puoi concludere che è positiva, altrimenti no.
Ely
Se questi sono tutti > 0 / < 0 [tex]\rightarrow[/tex] la forma è definita positiva/negativa;
Se sono tutti [tex]\ge / \le 0 \rightarrow[/tex] la forma è semidefinita positiva/ semidefinita negativa;
Altrimenti è indefinita.
[Questo per il teorema secondo cui "Una matrice simmetrica reale [tex]A \in Mat_n(R)[/tex] è definita positiva se e solo se tutti i suoi autovalori sono positivi etc ... "
2) Utilizzi la definizione: scrivi la forma quadratica associata alla forma bilineare e valuti, ad esempio nel tuo caso, se è sempre [tex]\ge[/tex] e se è = 0 solo quando il [tex]x=y=z=0[/tex] cioè quando [tex]\textbf{v}[/tex] è il vettor nullo. Allora puoi concludere che è positiva, altrimenti no.
Ely
grazie ely sei stata utilissima. Siccome sto studiando solo perche non posso andare all' uni posso chiederti se utilizzi msn così se ho qualche dubbio posso chiedertelo? Grazie ancora
Ah! Scusa volevo capire una cosa quando dici che lui scrive la forma quadratica associata alla forma lineare...
Non ho capito cos'è la forma bilineare...
Non ho capito cos'è la forma bilineare...
Nel tuo caso la forma bilineare [tex]b(\textbf{x,y}) = x_1y_2 + x_1y_3 + x_2y_1 + x_2y_3 + x_3y_1 + x_3y_2[/tex]
Nell'esercizio ti viene data subito la matrice e in seguito viene calcolata la forma quadratica. Per pasare dalla forma bilineare a quella quadratica basta che chiami le componenti del vettore [tex]\textbf{y} = (y_1, y_2, y_3)[/tex] rispettivamente [tex](x_1, x_2, x_3)[/tex]. Prova! (indipendentemente dalla matrice ti deve tornare la f.quadratica dell'es.)
Così è spiegato "terra terra" (per capire al volo), se però hai bisogno di un' illustrazione più fine non è un problema.
Ely
P.S. Ok, per mess privato comunque ti mando l'indirizzo.
sembra non voler funzionare ... lo lascio qui elybatt@hotmail.it
Nell'esercizio ti viene data subito la matrice e in seguito viene calcolata la forma quadratica. Per pasare dalla forma bilineare a quella quadratica basta che chiami le componenti del vettore [tex]\textbf{y} = (y_1, y_2, y_3)[/tex] rispettivamente [tex](x_1, x_2, x_3)[/tex]. Prova! (indipendentemente dalla matrice ti deve tornare la f.quadratica dell'es.)
Così è spiegato "terra terra" (per capire al volo), se però hai bisogno di un' illustrazione più fine non è un problema.
Ely
P.S. Ok, per mess privato comunque ti mando l'indirizzo.
sembra non voler funzionare ... lo lascio qui elybatt@hotmail.it
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