Fondamenti di Geometria
Potreste controllare se ho capito bene la differenza tra i primi due assiomi di collegamento di Hilbert.
1)Two disticnt points A and B always completely determine a straight line r. We write AB=r or BA=r
ovvero:
Due punti distinti A e B determinano sempre univocamente una retta r. Scriviamo AB=r o BA=r
In simboli matematici verrebbe così(vedete se vi trovate)
$ AA (A,B) (A!= B)hArr (EE !r\\ (Ain r)^^ (Binr))hArr (AB=r) $
per cui potrei scrivere semplicemente:
$ AA (A,B) (A!= B)hArr (AB=r) $
2)Any two distinct points of a straight line completely determine that line.
Ogni coppia di punti distinti di una retta determinano univocamente tale retta.
$ AA (A,B) (A!= B)^^(A,Bins)hArr(AB=s) $
Però per il primo assioma
$ (A!= B)hArr (AB=r) $
Dunque il secondo potrebbe intendersi nel seguente modo
$ AA (A,B) (AB=r)^^(A,Bins)hArr(AB=r=s) $
Dunque nel secondo assioma rispetto al primo viene dichiarato il fatto che i punti appartengano ad una retta, e poichè tali punti sono distinti, per il primo assioma individuano una ed una sola retta, che però in tal caso non è affatto generica, ma coincide con quella a cui appartengono.
E' giusto il ragionamento o ho sbagliato qualcosa(mi riferisco anche al linguaggio matematico utilizzato per interpretarli).
Se è così, non pensate che il secondo assioma poteva essere dedotto dal primo?
Grazie.
1)Two disticnt points A and B always completely determine a straight line r. We write AB=r or BA=r
ovvero:
Due punti distinti A e B determinano sempre univocamente una retta r. Scriviamo AB=r o BA=r
In simboli matematici verrebbe così(vedete se vi trovate)
$ AA (A,B) (A!= B)hArr (EE !r\\ (Ain r)^^ (Binr))hArr (AB=r) $
per cui potrei scrivere semplicemente:
$ AA (A,B) (A!= B)hArr (AB=r) $
2)Any two distinct points of a straight line completely determine that line.
Ogni coppia di punti distinti di una retta determinano univocamente tale retta.
$ AA (A,B) (A!= B)^^(A,Bins)hArr(AB=s) $
Però per il primo assioma
$ (A!= B)hArr (AB=r) $
Dunque il secondo potrebbe intendersi nel seguente modo
$ AA (A,B) (AB=r)^^(A,Bins)hArr(AB=r=s) $
Dunque nel secondo assioma rispetto al primo viene dichiarato il fatto che i punti appartengano ad una retta, e poichè tali punti sono distinti, per il primo assioma individuano una ed una sola retta, che però in tal caso non è affatto generica, ma coincide con quella a cui appartengono.
E' giusto il ragionamento o ho sbagliato qualcosa(mi riferisco anche al linguaggio matematico utilizzato per interpretarli).
Se è così, non pensate che il secondo assioma poteva essere dedotto dal primo?
Grazie.
Risposte
Grazie Sergio per la risposta.
Ma se il secondo assioma dice che le rette sono "dritte", perchè contraddire ciò con la presenza del primo? Se così è l'interpretazione, il primo assioma dovrebbe far parte della geometria iperbolica e non di quella euclidea.
Ma se il secondo assioma dice che le rette sono "dritte", perchè contraddire ciò con la presenza del primo? Se così è l'interpretazione, il primo assioma dovrebbe far parte della geometria iperbolica e non di quella euclidea.
Ok credo di aver capito 
Invece l'assioma che afferma
Three points A,B,C not situated in the same straight line always completely determine a plane a. We write ABC=a
Tre punti A,B,C che non stanno sulla stessa retta determinano sempre un piano a. Scriveremo ABC=a.
in quali casi esistono infiniti piani a che passano per tre punti distinti che non stanno sulla stessa retta?
Inoltre per quanto riguarda l'assioma I.1, come mi consiglieresti di scriverlo in linguaggio matematico, inserendo anche l'affermazione AB=r?
Invece l'assioma che afferma
Three points A,B,C not situated in the same straight line always completely determine a plane a. We write ABC=a
Tre punti A,B,C che non stanno sulla stessa retta determinano sempre un piano a. Scriveremo ABC=a.
in quali casi esistono infiniti piani a che passano per tre punti distinti che non stanno sulla stessa retta?
Inoltre per quanto riguarda l'assioma I.1, come mi consiglieresti di scriverlo in linguaggio matematico, inserendo anche l'affermazione AB=r?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo