Flusso da una superficie

[px1501]

Sia S la superficie totale del cono circolare retto V di base $D= (x,y) in RR^2; x^2+y^2<=9 $ di vertice (0,0,6).
Sia n(x,y,z) il versore normale esterno a S nel generico (x,y,z) in S. Sia $F(x,y,z)= (6y^9+z^2)i+(xe^(-6z)-5y)j+z(x-1)k$, (x,y,z) in $RR^3$.
Allora $int_SF(x,y,z)*n(x,y,z)delsigma=$
Qualcuno mi può spiegare come risolverlo svolgendo i passaggi? Grazie a chi potrà aiutarmi.

[pat871]

Usa il teorema di Gauss:

$int_S F(x,y,z) * n(x,y,z) d\sigma = int_V \nabla* F(x,y,z) dxdydz$
Dove $\partial V = S$, $V= { (x,y,z) \in RR^3 | x^2 + y^2 \le -1/4 z^2 + 9 , 0 \le z \le 6}$

La divergenza di F è $\nabla * F = 0 + (-5) + (x -1) = x - 6$

Passando in coordinate cilindriche con:
$x = r cos \phi$
$y = r sin \phi$
$z = z$
Chiamando $\Gamma$ questa trasformazione hai che $det(\Gamma') = r$, e che:
$\Gamma(V') = V$, dove $V' = { (r, \phi, z) | r^2 \le -1/4 z^2 + 9, 0 \le z \le 6, 0 \le \phi \le 2\pi}$
E quindi l'integrale diventa:
$int_0^(2\pi) int_0^6 int_0^(\sqrt(-1/4z^2 +9)) (rcos\phi - 6) r dr dz d\phi$

E da qui è particamente solo calcolo...

[px1501]

"pat87":Usa il teorema di Gauss:

$int_S F(x,y,z) * n(x,y,z) d\sigma = int_V \nabla* F(x,y,z) dxdydz$
Dove $\partial V = S$, $V= { (x,y,z) \in RR^3 | x^2 + y^2 \le -1/4 z^2 + 9 , 0 \le z \le 6}$

La divergenza di F è $\nabla * F = 0 + (-5) + (x -1) = x - 6$

Passando in coordinate cilindriche con:
$x = r cos \phi$
$y = r sin \phi$
$z = z$
Chiamando $\Gamma$ questa trasformazione hai che $det(\Gamma') = r$, e che:
$\Gamma(V') = V$, dove $V' = { (r, \phi, z) | r^2 \le -1/4 z^2 + 9, 0 \le z \le 6, 0 \le \phi \le 2\pi}$
E quindi l'integrale diventa:
$int_0^(2\pi) int_0^6 int_0^(\sqrt(-1/4z^2 +9)) (rcos\phi - 6) r dr dz d\phi$

E da qui è particamente solo calcolo...

Grazie pat87 tutto chiaro tranne una cosa:
come faccio a ricavare $V= { (x,y,z) \in RR^3 | x^2 + y^2 \le -1/4 z^2 + 9 , 0 \le z \le 6}$ ?

[pat871]

Beh, partendo dal fatto che hai un cono centrato in $(0,0,6)$ e avente sul piano xy una circonferenza di raggio 3, hai che deve avere la forma:
$x^2 + y^2 = az^2 + b$,
con per $z=0$ raggio 3, ossia:
$x^2 + y^2 = b$
$=> b = 9$
per $z=6$, raggio 0, cioè $x = y = 0$:
$a*6^2 + 9 = 0 => a = (-9)/(36) = - 1/4$
e quindi:
$x^2 + y^2 = -1/4z^2 + 9$ è il tuo cono, con z che varia tra 0 e 6...

[px1501]

"pat87":Beh, partendo dal fatto che hai un cono centrato in $(0,0,6)$ e avente sul piano xy una circonferenza di raggio 3, hai che deve avere la forma:
$x^2 + y^2 = az^2 + b$,
con per $z=0$ raggio 3, ossia:
$x^2 + y^2 = b$
$=> b = 9$
per $z=6$, raggio 0, cioè $x = y = 0$:
$a*6^2 + 9 = 0 => a = (-9)/(36) = - 1/4$
e quindi:
$x^2 + y^2 = -1/4z^2 + 9$ è il tuo cono, con z che varia tra 0 e 6...

Grazie pat87, tutto chiaro.