Fibrato in rette banale

[ACA2]

Ho un po' di difficoltà a prendere dimestichezza con i fibrati vettoriali. Ad esempio ho un problema con quanto segue.

Costruisco una famiglia di fibrati in rette (o lineare) sullo spazio proiettivo reale \(\displaystyle \Bbb P_{\Bbb R}^n \) prendendo gli atlanti

\(\displaystyle U_j = \{ [x^0, \ldots , x^n] | x_j \neq 0 \} \)

e le funzioni di transizione \(\displaystyle g_{ji} = \left( \frac{x^h}{x^k} \right)^d \) con \(\displaystyle h,k \in \{0, \ldots, n \} \) e \(\displaystyle d \in \Bbb Z \). Indico il fibrato in rette così ottenuto \(\displaystyle E_d \)

Primo, come faccio a notare che questo fibrato è proprio un fibrato in rette?

Secondo, voglio mostrare che se \(\displaystyle d=0 \) il fibrato in rette è banale, ovvero

\(\displaystyle E_0 = \Bbb P_{\Bbb R}^n \times \Bbb R \)

A questo punto penso sia d'obbligo notare che, se indico con \(\displaystyle \chi_j \) le banalizzazioni locali sugli atlanti ho che l'applicazione

\(\displaystyle \chi_j \circ \chi_i^{-1} : U_j \cap U_i \times \Bbb R \rightarrow U_j \cap U_i \times \Bbb R \)

è l'identità su \(\displaystyle U_j \cap U_i \times \Bbb R \; \forall i,j \), infatti

\(\displaystyle \chi_j \circ \chi_i^{-1} (p,v) = (p, g_{ji}(p) v) = (p, v) \)

Ma da qua non so come procedere.

[killing_buddha]

Hai probabilmente visto che un ricoprimento aperto \(\mathcal U = \{U_i\}\) e una famiglia di morfismi $g_{ij} : U_{ij}\to \text{GL}_r(\mathbb R)$ che soddisfi le condizioni di cociclo determina un unico fibrato vettoriale che ha le $g_{ij}$ come funzioni di transizione. Se ora le $g_{ij}$ ti sono date, dunque, è sufficiente considerare la dimensione dello spazio vettoriale su cui \(g_{ij}(\vec x)\) agisce, che deve essere 1 affinché il fibrato sia di rette.

[ACA2]

Grazie!

Quindi, oltre al ricoprimento e alle \(\displaystyle g_{ij} \) devo specificare (ovviamente ) anche su che spazio vettoriale agiscono le stesse, e quindi il mio primo dubbio è risolto: sono io a porre che le funzioni di transizione agiscano su \(\displaystyle \Bbb R \), e dunque che il fibrato vettoriale sia in rette. Riguardando meglio il testo trovo che le \(\displaystyle g_{ij} \) sono definite come:

\(\displaystyle g_{ij} : U_i \cap U_j \rightarrow R^* \)

Riguardo al secondo problema, definisco \(\displaystyle \tilde{E}_0 = \bigsqcup_i U_i \times \Bbb R \). Costruisco \(\displaystyle E_0 \) tramite la seguente relazione di equivalenza:

Dati \(\displaystyle (p,v) \in U_i \times \Bbb R \) e \(\displaystyle (q,v') \in U_j \times \Bbb R \),

\(\displaystyle (p,v) \sim (q,v') \Leftrightarrow p=q \; , \; v' = g_{ij} v = v \)

A questo punto mi inerpico in una mostruosità: \(\displaystyle E = \tilde{E}/\sim = \tilde{E} = \bigsqcup_i U_i \times \Bbb R = \Bbb P^n_{\Bbb R} \times \Bbb R \) risulta un fibrato vettoriale in rette su \(\displaystyle \Bbb P^n_{\Bbb R} \) con la proiezione sul primo fattore: \(\displaystyle \pi: E \rightarrow P^n_{\Bbb R} \).

C'è qualcosa che non mi torna quando scrivo \(\displaystyle \bigsqcup_i U_i \times \Bbb R = \Bbb P^n_{\Bbb R} \). Se lo facessi prima di quozientare perderei la possibilità di definire le banalizzazioni locali.

edit
Sto sbattendo da un po' la testa nel tentativo di mostrare che per \(\displaystyle d \) pari \(\displaystyle E_d \) è banale. Ho mostrato che \(\displaystyle E_d \cong E_1 \otimes \ldots \otimes E_1 \), a questo punto cerco di trovare una sezione mai nulla su \(\displaystyle E_1 \otimes E_1 \), ma non ci riesco. Sapete darmi un hint?

[nostradamus1]

"ACA":Grazie!

Quindi, oltre al ricoprimento e alle \(\displaystyle g_{ij} \) devo specificare (ovviamente ) anche su che spazio vettoriale agiscono le stesse, e quindi il mio primo dubbio è risolto: sono io a porre che le funzioni di transizione agiscano su \(\displaystyle \Bbb R \), e dunque che il fibrato vettoriale sia in rette. Riguardando meglio il testo trovo che le \(\displaystyle g_{ij} \) sono definite come:

\(\displaystyle g_{ij} : U_i \cap U_j \rightarrow R^* \)

Riguardo al secondo problema, definisco \(\displaystyle \tilde{E}_0 = \bigsqcup_i U_i \times \Bbb R \). Costruisco \(\displaystyle E_0 \) tramite la seguente relazione di equivalenza:

Dati \(\displaystyle (p,v) \in U_i \times \Bbb R \) e \(\displaystyle (q,v') \in U_j \times \Bbb R \),

\(\displaystyle (p,v) \sim (q,v') \Leftrightarrow p=q \; , \; v' = g_{ij} v = v \)

A questo punto mi inerpico in una mostruosità: \(\displaystyle E = \tilde{E}/\sim = \tilde{E} = \bigsqcup_i U_i \times \Bbb R = \Bbb P^n_{\Bbb R} \times \Bbb R \) risulta un fibrato vettoriale in rette su \(\displaystyle \Bbb P^n_{\Bbb R} \) con la proiezione sul primo fattore: \(\displaystyle \pi: E \rightarrow P^n_{\Bbb R} \).

C'è qualcosa che non mi torna quando scrivo \(\displaystyle \bigsqcup_i U_i \times \Bbb R = \Bbb P^n_{\Bbb R} \). Se lo facessi prima di quozientare perderei la possibilità di definire le banalizzazioni locali.

edit
Sto sbattendo da un po' la testa nel tentativo di mostrare che per \(\displaystyle d \) pari \(\displaystyle E_d \) è banale. Ho mostrato che \(\displaystyle E_d \cong E_1 \otimes \ldots \otimes E_1 \), a questo punto cerco di trovare una sezione mai nulla su \(\displaystyle E_1 \otimes E_1 \), ma non ci riesco. Sapete darmi un hint?

Ciao!! mi trovo a dover risolvere lo stesso problema... anche io sono riuscito a dimostrare che si tratta di un unico fibrato lineare, ma mi manca la parte di $E_d$ banale se $d$ è pari, e dimostrare che $E_0$ è il fibrato prodotto banale. Sei riuscito a risolverli? Grazie mille!!