Fibrati, fibrati vettoriali e principali
Ciao ragazzi,
ho alcune difficoltà sui fibrati. C'è qualcuno che può aiutarmi?
il testo che utilizzo è Abate Tovena, Geometria differenziale, capitolo 3. Vorrei chiedervi per prima cosa:
il fibrato banale è \(\displaystyle M \times R^r \). Perché è un fibrato vettoriale?
-secondo la definizione di fibrato vettoriale data dall'A.T., dovrei mostrare che
1) \(\displaystyle M \) e \(\displaystyle M \times R^r \) sono varietà
2) l'applicazione \(\displaystyle \pi : M \times R^r \rightarrow M \) è differenziabile e suriettiva
3) per ogni punto la fibra \(\displaystyle \pi^{-1}(p) \) è uno spazio vettoriale
4) per ogni punto c'è la banalizzazione locale.
ho alcune difficoltà sui fibrati. C'è qualcuno che può aiutarmi?
il testo che utilizzo è Abate Tovena, Geometria differenziale, capitolo 3. Vorrei chiedervi per prima cosa:
il fibrato banale è \(\displaystyle M \times R^r \). Perché è un fibrato vettoriale?
-secondo la definizione di fibrato vettoriale data dall'A.T., dovrei mostrare che
1) \(\displaystyle M \) e \(\displaystyle M \times R^r \) sono varietà
2) l'applicazione \(\displaystyle \pi : M \times R^r \rightarrow M \) è differenziabile e suriettiva
3) per ogni punto la fibra \(\displaystyle \pi^{-1}(p) \) è uno spazio vettoriale
4) per ogni punto c'è la banalizzazione locale.
Risposte
Benvenuta\o\*! 
Dando per scontato che \(\displaystyle M\) una varietà differenziabile reale (o più semplicemente una manifold), la risposta che cerchi è nella soluzione delle tre domande!
E ti ricordo che \(\displaystyle M\) è un sottoinsieme aperto di se stesso, per cui \(\displaystyle p_1:M\times\mathbb{R}^r\to M\) è un fibrato vettoriale di rango \(\displaystyle r\) banalizzato su tutto \(\displaystyle M\), per cui è il fibrato vettoriale banale di rango \(\displaystyle r\) su \(\displaystyle M\).
Dando per scontato che \(\displaystyle M\) una varietà differenziabile reale (o più semplicemente una manifold), la risposta che cerchi è nella soluzione delle tre domande!
E ti ricordo che \(\displaystyle M\) è un sottoinsieme aperto di se stesso, per cui \(\displaystyle p_1:M\times\mathbb{R}^r\to M\) è un fibrato vettoriale di rango \(\displaystyle r\) banalizzato su tutto \(\displaystyle M\), per cui è il fibrato vettoriale banale di rango \(\displaystyle r\) su \(\displaystyle M\).
scusa, ho difficoltà nel capire la tua risposta, potresti essere più preciso (anche se sicuramente sono banali)? mi sono reso conto che ho sbagliato la domanda ahahha, la domanda è perché è un fibrato vettoriale? marco
È un fibrato vettoriale perché soddisfa le proprietà che hai elencato, móstrale.
si ho capito, ma non so come dimostrarle hihi
1) il prodotto di varietà per un'altra è una varietà. essendo entrambe varietà ok
2) l'applicazione è suriettiva e differenziabile? perché?
3) le fibre sono spazi vettoriali? perché?
4)è localmente banale? perché?
1) il prodotto di varietà per un'altra è una varietà. essendo entrambe varietà ok
2) l'applicazione è suriettiva e differenziabile? perché?
3) le fibre sono spazi vettoriali? perché?
4)è localmente banale? perché?
Eh, secondo te perché?
"marcy150":
si ho capito, ma non so come dimostrarle hihi
1) il prodotto di varietà per un'altra è una varietà.
il prodotto di due varietà è una varietà.?
2) l'applicazione \(\displaystyle \pi \)è suriettiva?
La proiezione su un fattore è sempre suriettiva. ?
3) le fibre sono spazi vettoriali? perché?
per ogni \(\displaystyle p\in M \) la fibra sopra p è
\(\displaystyle E_p=\pi^{-1}(p)=\lbrace p \rbrace \times R^r \) ed è uno spazio vettoriale su R di dimensione r. ?
4)è localmente banale? perché?
per ogni \(\displaystyle p\in M \) esiste un intorno di p (M stesso) e un diffeomorfismo \(\displaystyle \chi \)(perché?) che manda \(\displaystyle \pi^{ -1}(M) \rightarrow M \times R^r \) tale che\(\displaystyle \pi_1 \circ \chi = \pi \) e tale che la sua restrizione a ciascuna fibra sia un isomorfismo tra gli spazi vettoriali \(\displaystyle E_p \) e \(\displaystyle \lbrace p \rbrace \times R^r \).?
-Prova!
-Non son capace!
-Prova!!
-Non son capace!
-Prova!!
"killing_buddha":
-Prova!
-Non son capace!
-Prova!!
che significa? ho scritto giusto?
Il gruppo strutturale di un fibrato vettoriale è GL(n,R)?
Sì, i fibrati vettoriali (reali, di rango \(\displaystyle n\), su uno spazio topologico) è un fibrato principale con gruppo struttuale \(\displaystyle GL(n,\mathbb{R})\).
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