Fattorizzazione LU

[squalllionheart]

Scusate ho un dubbio la fattorizzazione $LU$ esiste ed è unica se i minori di testa fino all'ordine $n-1$ sono non singolari, ma in generale esiste sempre? O esistono condizioni per cui $LU$ non esiste indipendentemente dall'unicità.

[dissonance]

Beh è chiaro che potrebbe non esistere! Prendi $((0, 0), (0, 0))$. Una matrice è fattorizzabile LU esattamente quando puoi applicarvi l'algoritmo di Gauss e questo arriva fino alla fine senza incepparsi mai (l'algoritmo di Gauss si inceppa se tenta di dividere per zero).

[squalllionheart]

ho capito... quindi BASTA CHE SIA NON SINGOLARE Dissonance bello?
Grazie

[dissonance]

Il fatto che tu mi vezzeggi, ahimé, non cambia i teoremi! Non ho detto questo, e del resto pure il libro che stai leggendo lo dice chiaro e tondo: la fattorizzazione LU esiste certamente, ed è unica, SE i minori principali di testa sono tali che bla bla bla. Altrimenti il teorema non dà informazioni.

Ora a dire il vero leggo su Gallier che in quel teorema vale il "se e solo se": la fattorizzazione LU esiste se e solo se i minori principali di testa non non nulli. Quindi, se esiste, è pure unica. Però non basta che la matrice sia non singolare. Devi per forza verificare quella condizione con i minori principali di testa. Altrimenti niente LU.

[squalllionheart]

Quindi aspetta ho la certezza sull'esistenza e l'unicità ma non ho condizioni sulla sola esistenza?

P.s.
Non di vezzeggiavo ti adulavo, nel senso di celebravo con ammirazione la tua persona, gli occhi di una ragazza non sono mai di scherno ma di ammirazione

[dissonance]

"squalllionheart":Quindi aspetta ho la certezza sull'esistenza e l'unicità ma non ho condizioni sulla sola esistenza?

Allora: ho fatto una piccola ricerca, le cose stanno così.

Se $A$ non è singolare, allora o la fattorizzazione LU esiste ed è unica (il che accade solamente quando i minori principali di testa sono tutti non nulli), oppure non esiste proprio. Quindi questo caso è completamente caratterizzato.

Se invece $A$ è singolare non lo so cosa succede, i libri che ho consultato non considerano tanto questo caso perché effettivamente in matematica computazionale non è molto importante: tu stai puntando a costruire metodi numerici per risolvere sistemi lineari, e per fare questo devi avere sempre tra le ipotesi il fatto che il sistema ammetta una e una sola soluzione, ovvero che la matrice dei coefficienti sia non singolare.

Non di vezzeggiavo ti adulavo, nel senso di celebravo con ammirazione la tua persona, gli occhi di una ragazza non sono mai di scherno ma di ammirazione

Beh grazie! Ma in realtà non ho davvero fatto niente oltre a tirare giù dalla libreria il testo di algebra lineare numerica.

[squalllionheart]

Ok, grazie mille, ora non ho più il dubbio che mi attanaglia.