Fascio di rette tangenti ad una sfera
Salve a tutti, avrei bisogno di un suggerimento.
Data una sfera con centro nell'origine ed un fascio di rette nello spazio, come faccio a trovare le rette del fascio tangenti alla sfera.
Ho pensato di ricavare le coordinate di un generico punto del fascio in funzione del parametro k e di sostituirle nell'equazione della sfera imponendo in seguito det = 0.
E'corretto?
Data una sfera con centro nell'origine ed un fascio di rette nello spazio, come faccio a trovare le rette del fascio tangenti alla sfera.
Ho pensato di ricavare le coordinate di un generico punto del fascio in funzione del parametro k e di sostituirle nell'equazione della sfera imponendo in seguito det = 0.
E'corretto?
Risposte
Si, basta "sostituire" l'equazione (le equazioni) di una generica retta del fascio nell'equazione della sfera e chiedere all'equazione di secondo grado risultante di avere il discriminante nullo.
PS. Benvenuto nel forum
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Ok, grazie.
Visto che il mio problema e' generale vorrei capire come scrivere correttamente l'equazione del fascio. Il fascio appartiene ad un piano parallelo ad una retta giacente nel piano xy.
Se ho l'equazione di tale retta pensavo di trovare la retta del piano xy ad essa perpendicolare e passante per il centro del fascio (anch'esso noto) e poi generare il fascio di piani dati da questa retta ed il piano z=0.
L'interesezione del fascio di piani con la prima retta mi dara' il fascio di rette.
Es:
C = (3,2)
r: x-y+5 = 0
s(perpendicolare ad r): x+y-1=0
ALFA = Fascio di piani: x+y+kz-1=0
Fascio di rette = Sistema tra ALFA ed r
Credo sia corretto cosi', potete confermare il procedimento?
Visto che il mio problema e' generale vorrei capire come scrivere correttamente l'equazione del fascio. Il fascio appartiene ad un piano parallelo ad una retta giacente nel piano xy.
Se ho l'equazione di tale retta pensavo di trovare la retta del piano xy ad essa perpendicolare e passante per il centro del fascio (anch'esso noto) e poi generare il fascio di piani dati da questa retta ed il piano z=0.
L'interesezione del fascio di piani con la prima retta mi dara' il fascio di rette.
Es:
C = (3,2)
r: x-y+5 = 0
s(perpendicolare ad r): x+y-1=0
ALFA = Fascio di piani: x+y+kz-1=0
Fascio di rette = Sistema tra ALFA ed r
Credo sia corretto cosi', potete confermare il procedimento?
Secondo me non hai spiegato bene il problema: io avevo capito che il fascio di rette era gia' dato. Inoltre in generale l'intersezione tra un fascio di piani e una retta non e' un fascio di rette.
Potresti scrivere bene il procedimento di come ti si richiede di trovare il fascio (cioe', il testo integrale del problema)? E cosa intendi per C ed r, e perche' ti serve una retta perpendicolare a r?
Potresti scrivere bene il procedimento di come ti si richiede di trovare il fascio (cioe', il testo integrale del problema)? E cosa intendi per C ed r, e perche' ti serve una retta perpendicolare a r?
Non ho un testo integrale del problema purtroppo ma provo a spiegarmi meglio.
Ho una sfera di raggio R ed un piano alfa secante la sfera. Il piano alfa e' parallelo ad una retta giacente sul piano xy. A partire da un punto P appartenente al piano alfa (coordinate di P note (Xp, Yp, 0)) voglio trovare le coordinate dei punti di tangenza tra il fascio di rette giacente su alfa e di centro P e la sfera.
Ho una sfera di raggio R ed un piano alfa secante la sfera. Il piano alfa e' parallelo ad una retta giacente sul piano xy. A partire da un punto P appartenente al piano alfa (coordinate di P note (Xp, Yp, 0)) voglio trovare le coordinate dei punti di tangenza tra il fascio di rette giacente su alfa e di centro P e la sfera.
Quindi in pratica hai un piano $alpha$ in $RR^3$ e un suo punto $P$, e vuoi trovare il fascio di rette per $P$ contenuto in $alpha$. Basta chiedere ad una generica retta contenuta in $alpha$ di passare per $P$. Ottieni un sistema in due equazioni con un parametro, cioè un fascio di rette.
Ancora non mi torna però il fatto che prima comparivano C, r ed s e invece nella tua ultima formulazione non ci sono, inoltre prima $alpha$ era un fascio di piani ed ora è un piano fissato.
Comunque se ho capito bene, prendiamo per esempio come sfera quella unitaria, $P=(3,2,0)$ e $alpha$ definito da $x-y=1$. Una generica retta passante per $P$ ha questa formulazione: $((3),(2),(0))+t((a),(b),(c))$, con $((a),(b),(c)) ne 0$. Imponendo che sia contenuta nel piano $x-y=1$ otteniamo $3+ta-2-tb=1$, cioè $t(a-b)=0$ per ogni $t$. In particolare ponendo $t=1$ ottieni $a=b$. Quindi un generico punto della retta cercata è $((3+ta),(2+ta),(tc))$. Ora procedi come preferisci per trovare equazioni cartesiane di questa retta. Per esempio due equazioni che la definiscono sono
$x-y=1$
$c(x-3)=az$
Dimentichiamoci della retta che si ottiene quando $a=0$, tale retta non è tangente alla sfera unitaria.
Quando $a ne 0$ puoi definire il parametro $k=c/a$ e ottieni le equazioni
$x-y=1$
$k(x-3)=z$
Queste due equazioni definiscono un fascio di rette, quello cercato (a meno della retta di cui ci siamo dimenticati).
In questo modo per conoscere le intersezioni con la sfera di raggio $1$, quella di equazione $x^2+y^2+z^2=1$, basta sostituire ottenendo
$x^2+(x-1)^2+k^2(x-3)^2=1$
$(2+k^2)x^2-(2+6k^2)x+9k^2=0$
Il discriminante diviso quattro vale $(1+3k^2)^2-9k^2(2+k^2)=6k^2+1-18k^2=1-12k^2$. Quindi i valori di $k$ per cui la corrispondente retta del fascio è tangente alla sfera sono $pm 1/(2 sqrt(3))$.
Ancora non mi torna però il fatto che prima comparivano C, r ed s e invece nella tua ultima formulazione non ci sono, inoltre prima $alpha$ era un fascio di piani ed ora è un piano fissato.
Comunque se ho capito bene, prendiamo per esempio come sfera quella unitaria, $P=(3,2,0)$ e $alpha$ definito da $x-y=1$. Una generica retta passante per $P$ ha questa formulazione: $((3),(2),(0))+t((a),(b),(c))$, con $((a),(b),(c)) ne 0$. Imponendo che sia contenuta nel piano $x-y=1$ otteniamo $3+ta-2-tb=1$, cioè $t(a-b)=0$ per ogni $t$. In particolare ponendo $t=1$ ottieni $a=b$. Quindi un generico punto della retta cercata è $((3+ta),(2+ta),(tc))$. Ora procedi come preferisci per trovare equazioni cartesiane di questa retta. Per esempio due equazioni che la definiscono sono
$x-y=1$
$c(x-3)=az$
Dimentichiamoci della retta che si ottiene quando $a=0$, tale retta non è tangente alla sfera unitaria.
Quando $a ne 0$ puoi definire il parametro $k=c/a$ e ottieni le equazioni
$x-y=1$
$k(x-3)=z$
Queste due equazioni definiscono un fascio di rette, quello cercato (a meno della retta di cui ci siamo dimenticati).
In questo modo per conoscere le intersezioni con la sfera di raggio $1$, quella di equazione $x^2+y^2+z^2=1$, basta sostituire ottenendo
$x^2+(x-1)^2+k^2(x-3)^2=1$
$(2+k^2)x^2-(2+6k^2)x+9k^2=0$
Il discriminante diviso quattro vale $(1+3k^2)^2-9k^2(2+k^2)=6k^2+1-18k^2=1-12k^2$. Quindi i valori di $k$ per cui la corrispondente retta del fascio è tangente alla sfera sono $pm 1/(2 sqrt(3))$.
Ok, é questo il procedimento che cercavo, avevo fatto un pó di confusione in precedenza. In precedenza indicavo con C il centro del fascio, con r in pratica l'equazione del piano alfa e con s la retta sostegno del fascio di piani. In pratica cercavo di trovare il fascio di rette tramite intersezione di alfa con il fascio di piani, ma evidentemente il tuo procedimento é molto piú semplice.
Grazie mille e grazie del benvenuto
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