Fascio di Quadriche del proiettivo di R^3
Salve a tutti
Ho bisogno di una mano con questo fascio di quadriche al variare di due parametri reali omogenei $[a,b]\in \mathbb{P}(\mathbb{R})$:
$$(a-b)x^2+2ay^2-(a+b)z^2+2axt+2xz+2aty+2atz=0$$
Devo trovare i tipi proiettivi e topologici delle quadriche di questo fascio.
Sembra abbastanza evidente che non sia praticabile la strada del "conto becero". L'unica cosa a cui ho pensato è di scrivere il fascio come combinazione lineare:
$Q_1: x^2+2y^2-z^2+2xt+2ty+2tz=0$
$Q_2: -x^2-z^2=0$
$Q_3: 2xz=0$
Così la conica iniziale è data da:
$$Q=aQ_1+bQ_2+Q_3$$
Come la manipolo questa? Si può farlo in maniera furba? Non ho molte altre idee.
Per favore, se proprio non mi volete dire come si fa, almeno datemi qualche idea, e\o quale parte della teoria devo riguardarmi o studiarmi da zero, per poterlo risolvere.
Grazie a tutti.
Ho bisogno di una mano con questo fascio di quadriche al variare di due parametri reali omogenei $[a,b]\in \mathbb{P}(\mathbb{R})$:
$$(a-b)x^2+2ay^2-(a+b)z^2+2axt+2xz+2aty+2atz=0$$
Devo trovare i tipi proiettivi e topologici delle quadriche di questo fascio.
Sembra abbastanza evidente che non sia praticabile la strada del "conto becero". L'unica cosa a cui ho pensato è di scrivere il fascio come combinazione lineare:
$Q_1: x^2+2y^2-z^2+2xt+2ty+2tz=0$
$Q_2: -x^2-z^2=0$
$Q_3: 2xz=0$
Così la conica iniziale è data da:
$$Q=aQ_1+bQ_2+Q_3$$
Come la manipolo questa? Si può farlo in maniera furba? Non ho molte altre idee.
Per favore, se proprio non mi volete dire come si fa, almeno datemi qualche idea, e\o quale parte della teoria devo riguardarmi o studiarmi da zero, per poterlo risolvere.
Grazie a tutti.
Risposte
up
Ahimè, purtroppo l'unica via che vedo è quella di fare il calcolo becero; a meno che tu non sappia usare la mappa di Veronese...
"j18eos":
Ahimè, purtroppo l'unica via che vedo è quella di fare il calcolo becero; a meno che tu non sappia usare la mappa di Veronese...
Avresti qualcosa da suggerirmi per fare quel conto becero? Perchè la mappa di Veronesi non so usarla e non ce l'ho nemmeno in programma. Pensi che sia sulla giusta strada con il ragionamento che ho fatto?
Io dico che deve essere qualcosa di molto elementare dato il target dell'esercizio (studenti del secondo anno della triennale in matematica)
Si inizia con lo scrivere la matrice associata:
\[
M(a,b)=\begin{pmatrix}
(a-b) & 0 & 1 & a\\
0 & 2a & 0 & a\\
1 & 0 & -(a+b) & a\\
a & a & a & 0
\end{pmatrix}
\]
usando Laplace, sviluppando dalla seconda colonna (o riga), si ha che il determinante è:
\[
\det M(a,b)=2a\det\begin{pmatrix}
(a-b) & 1 & a\\
1 & -(a+b) & a\\
a & a & 0
\end{pmatrix}+a\det\begin{pmatrix}
(a-b) & 1 & a\\
0 & 0 & a\\
1 & -(a+b) & a
\end{pmatrix}=\\
=2a[a^2+a^2-a^2(a-b)+a^2(a+b)]+a[a+a(a-b)(a+b)]=\\
=2a[2a^2-a^3+a^2b+a^3+a^2b]+a[a+a(a^2-b^2)]=\\
=2a[2a^2+2a^2b]+a[a+a^3-ab^2]=\\
=4a^3[1+b]+a^2[1+a^2-b^2]=\\
=a^2[4a(1+b)+1+a^2-b^2]=\\
=a^2(a^2+4ab-b^2+4a+1)
\]
da cui puoi evincere se la quadrica è irriducibile o no!
Poi, puoi calcolare per quali valori di \(\displaystyle[a]\in\mathbb{P}^1(\mathbb{R})\) la quadrica ottenuta è singolare o liscia!
\[
M(a,b)=\begin{pmatrix}
(a-b) & 0 & 1 & a\\
0 & 2a & 0 & a\\
1 & 0 & -(a+b) & a\\
a & a & a & 0
\end{pmatrix}
\]
usando Laplace, sviluppando dalla seconda colonna (o riga), si ha che il determinante è:
\[
\det M(a,b)=2a\det\begin{pmatrix}
(a-b) & 1 & a\\
1 & -(a+b) & a\\
a & a & 0
\end{pmatrix}+a\det\begin{pmatrix}
(a-b) & 1 & a\\
0 & 0 & a\\
1 & -(a+b) & a
\end{pmatrix}=\\
=2a[a^2+a^2-a^2(a-b)+a^2(a+b)]+a[a+a(a-b)(a+b)]=\\
=2a[2a^2-a^3+a^2b+a^3+a^2b]+a[a+a(a^2-b^2)]=\\
=2a[2a^2+2a^2b]+a[a+a^3-ab^2]=\\
=4a^3[1+b]+a^2[1+a^2-b^2]=\\
=a^2[4a(1+b)+1+a^2-b^2]=\\
=a^2(a^2+4ab-b^2+4a+1)
\]
da cui puoi evincere se la quadrica è irriducibile o no!
Poi, puoi calcolare per quali valori di \(\displaystyle[a]\in\mathbb{P}^1(\mathbb{R})\) la quadrica ottenuta è singolare o liscia!
Ti ringrazio per la risposta. Avevo già fatto questo.
Ho già fatto tutti i casi: per $a=0, b=0$, per $a=0 , b\ne 0$, per $a\ne 0 , b=0$ e per il caso $a\ne 0, b\ne 0$ nei seguenti sottocasi: $a=b$, $a=-b$.
Mi mancherebbe solo il caso $|a|\ne b$ (come sottocaso). Ecco, questo lo trovo rognoso.
Bisogna discutere gli zeri ed il segno del determinante!...
Ho scritto almeno cinque pagine di soluzione fino a qui sfruttando a gogò il criterio di Jacobi previe opportune permutazioni delle variabili.
Anche a volerlo ripetere su quest ultimo sottocaso mi verrebbero altri 14 sottocasi da qui. E' un suicidio!
E' chiaro che questo metodo sia troppo laborioso. Ho pensato di calcolare i punti fissi del fascio e mi è venuto, come unico punto fisso, il punto $[0,1,0,-1]$.
Non è che da questa informazione potrei provvidenzialmente eliminare qualche caso di troppo?
PS: $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ perchè c'è la quadrica $Q_3$ che non dipende da parametri. Non capisco perchè il testo dell'esercizio riportasse $[a,b]\in \mathbb{P}(\mathbb{R})$. L'equazione l'ho copiata gisuta.
Ho già fatto tutti i casi: per $a=0, b=0$, per $a=0 , b\ne 0$, per $a\ne 0 , b=0$ e per il caso $a\ne 0, b\ne 0$ nei seguenti sottocasi: $a=b$, $a=-b$.
Mi mancherebbe solo il caso $|a|\ne b$ (come sottocaso). Ecco, questo lo trovo rognoso.
Bisogna discutere gli zeri ed il segno del determinante!...
Ho scritto almeno cinque pagine di soluzione fino a qui sfruttando a gogò il criterio di Jacobi previe opportune permutazioni delle variabili.
Anche a volerlo ripetere su quest ultimo sottocaso mi verrebbero altri 14 sottocasi da qui. E' un suicidio!
E' chiaro che questo metodo sia troppo laborioso. Ho pensato di calcolare i punti fissi del fascio e mi è venuto, come unico punto fisso, il punto $[0,1,0,-1]$.
Non è che da questa informazione potrei provvidenzialmente eliminare qualche caso di troppo?
PS: $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ perchè c'è la quadrica $Q_3$ che non dipende da parametri. Non capisco perchè il testo dell'esercizio riportasse $[a,b]\in \mathbb{P}(\mathbb{R})$. L'equazione l'ho copiata gisuta.
Dalle ipotesi non può essere \(\displaystyle a=b=0\), in quanto \(\displaystyle[a]\in\mathbb{P}^1(\mathbb{R})\)!
Premesso ciò, shai che:
\[
\forall b\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\,\det M(0,b)=0;
\]
sia \(\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) devi studiare:
\[
-b^2+4ab+(a^2+4a+1)=0
\]
quindi:
\[
\Delta(a)=16a^2-4(-1)(a^2+4a+1)=20a^2+4a+1
\]
e noti che:
\[
\forall a\in\mathbb{R},\,\Delta(a)>0.
\]
Da tutto ciò:
\[
\forall b\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\,\det M(0,b)=0,\\
\forall a\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\,\exists b_1(a)=b_1\neq b_2=b_2(a)\in\mathbb{R}\mid\det M(a,b_1)=\det M(a,b_2)=0;
\]
così concludi il calcolo delle quadriche (ir)riducibili!
Ora passa al calcolo dei punti singolari; metti assieme queste due informazioni: cosa ottieni?
Premesso ciò, shai che:
\[
\forall b\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\,\det M(0,b)=0;
\]
sia \(\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) devi studiare:
\[
-b^2+4ab+(a^2+4a+1)=0
\]
quindi:
\[
\Delta(a)=16a^2-4(-1)(a^2+4a+1)=20a^2+4a+1
\]
e noti che:
\[
\forall a\in\mathbb{R},\,\Delta(a)>0.
\]
Da tutto ciò:
\[
\forall b\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\,\det M(0,b)=0,\\
\forall a\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\,\exists b_1(a)=b_1\neq b_2=b_2(a)\in\mathbb{R}\mid\det M(a,b_1)=\det M(a,b_2)=0;
\]
così concludi il calcolo delle quadriche (ir)riducibili!
Ora passa al calcolo dei punti singolari; metti assieme queste due informazioni: cosa ottieni?
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