Fascio di piani

[Mateprof84]

Ragazzi salve!
Non so proprio come svolgere questo esercizio! c'è qualcuno che può aiutarmi?!

Sia P il punto di coordinate (1,2,1) e sia $ pi $ il piano di equazione $ 2x-6y+2z-3=0 $. Tra i piani per P e ortogonali a $ pi $ si determini l'equazione del piano $ sigma $ passante per Q(1,2,-1).

Dovrei ricavarmi un fascio di piani che passano per P e sono ortogonali a $ pi $ ma mi manca qualcosa!
Aiutoooo!!!

[sandroroma]

Il fascio di cui parli è quello che ha per asse la retta PQ.
L'equazione di tale fascio é ( lascio a te i dettagli del calcolo):
(A) $\lambda(x-1)+\mu(y-2)=0$
Il vettore direzionale del piano generico del fascio è $(\lamda,\mu,0)$ mentre quello del piano $\pi$
é $(1,-3,1)$. Imponendo la condizione che tali vettori siano ortogonali si ha :
$\lambda-3\mu=0$ da cui $\lambda=3\mu$.
Sostituendo nella (A):
$3\mu(x-1)+\mu(y-2)=0$
Dividendo per $\mu$ ( che non può essere nullo) si ottiene:
$3x+y-5=0$
che è l'equazione del piano voluto.
N.B. Il problema si risolve anche con altri modi ma questo mi sembra il più accessibile.