Fascio di coniche - (Esercizio irrisolto..una mano, please)
Potreste risolvere il seguente esercizio?? grazie in anticipo
Determinare e studiare il fascio di coniche passanti per P=(0,-1), aventi per asse la retta x=y e come diametro passante per P la retta 2x-y-1=0 .
Determinare inoltre:
- gli eventuali elementi di simmetria comuni a tutte le coniche del fascio;
- l'equazione della conica "gamma" passante per T=(0,-3) e l'equazione della retta tangente a "gamma" in T;
- il polo del diametro di "gamma" passante per T.
Grazie ancora, non riesco nemmeno a impostarlo!
Determinare e studiare il fascio di coniche passanti per P=(0,-1), aventi per asse la retta x=y e come diametro passante per P la retta 2x-y-1=0 .
Determinare inoltre:
- gli eventuali elementi di simmetria comuni a tutte le coniche del fascio;
- l'equazione della conica "gamma" passante per T=(0,-3) e l'equazione della retta tangente a "gamma" in T;
- il polo del diametro di "gamma" passante per T.
Grazie ancora, non riesco nemmeno a impostarlo!
Risposte
Il centro della generica conica \(\displaystyle \gamma \) è l'intersezione tra l'asse ed il diametro dati e quindi è il punto \(\displaystyle C(1,1) \)
A questo punto si ha anche l'altro asse di \(\displaystyle \gamma \) . Esso è la perpendicolare per C all'asse conosciuto ed ha quindi equazione \(\displaystyle x+y-2=0 \). Ora sono noti i due assi di \(\displaystyle \gamma \) e quindi l'equazione di \(\displaystyle \gamma \) è:
(1) \(\displaystyle \lambda(x+y-2)^2+\mu(x-y)^2=1\)
Imponendo il passaggio per \(\displaystyle P(0,-1) \) si ha la relazione \(\displaystyle 9\lambda+\mu=1 \)
Ricavando \(\displaystyle \mu \) e sostituendo nella (1) si ottiene l'equazione del fascio :
\(\displaystyle \lambda(x+y-2)^2+(1-9\lambda)(x-y)^2=1\)
Il resto ti dovrebbe essere noto.
A questo punto si ha anche l'altro asse di \(\displaystyle \gamma \) . Esso è la perpendicolare per C all'asse conosciuto ed ha quindi equazione \(\displaystyle x+y-2=0 \). Ora sono noti i due assi di \(\displaystyle \gamma \) e quindi l'equazione di \(\displaystyle \gamma \) è:
(1) \(\displaystyle \lambda(x+y-2)^2+\mu(x-y)^2=1\)
Imponendo il passaggio per \(\displaystyle P(0,-1) \) si ha la relazione \(\displaystyle 9\lambda+\mu=1 \)
Ricavando \(\displaystyle \mu \) e sostituendo nella (1) si ottiene l'equazione del fascio :
\(\displaystyle \lambda(x+y-2)^2+(1-9\lambda)(x-y)^2=1\)
Il resto ti dovrebbe essere noto.
mi potresti descrivere anche la risoluzione degli altri punti? vorrei capire meglio.
grazie mille, per la prima parte sei stato chiarissimo!
grazie mille, per la prima parte sei stato chiarissimo!
Rinnovo a Vittorino70, se non si fosse capito, l'invito a evitare la risoluzione completa di un esercizio: non mi va di dover ricorrere a provvedimenti più seri, per cui spero si cambi atteggiamento.
Gli elementi di simmetria comuni alle coniche te li ho già trovati ...
Per avere la conica del fascio passante per T devi solo imporre una condizione di appartenenza
Per avere la tangente in T ( che è un punto proprio ) devi fa uso della formula :
\(\displaystyle (0,-3,1)\cdot A\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\1 \end{pmatrix}=0\)
dove A è la matrice collegata alla conica
Per avere il polo del diametro CT devi osservare che CT passa per il polo T della tangente in T, che il polo di un diametro è un punto improprio ed applicare la legge di reciprocità.
P.S. E' probabile che mi bannino per aver mostrato i muscoli
. Ma prima che questo succeda, vorrei avvertirti che molte delle tue richieste dicono che hai bisogno di una cura massiccia di esercizi di base sulle coniche e sui fasci di coniche...
Per avere la conica del fascio passante per T devi solo imporre una condizione di appartenenza
Per avere la tangente in T ( che è un punto proprio ) devi fa uso della formula :
\(\displaystyle (0,-3,1)\cdot A\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\1 \end{pmatrix}=0\)
dove A è la matrice collegata alla conica
Per avere il polo del diametro CT devi osservare che CT passa per il polo T della tangente in T, che il polo di un diametro è un punto improprio ed applicare la legge di reciprocità.
P.S. E' probabile che mi bannino per aver mostrato i muscoli
. Ma prima che questo succeda, vorrei avvertirti che molte delle tue richieste dicono che hai bisogno di una cura massiccia di esercizi di base sulle coniche e sui fasci di coniche...
[xdom="gio73"]Vittorino70 sei stato cortesemente avvisato, in più di un'occasione, che fornire soluzioni complete non fa parte della politica del forum. L'utente che riceve la soluzione non partecipa con un suo ragionamento al percorso e non si costruisce così gli strumenti per affrontare nuovi esercizi. Detto in parole più semplici: non impara.
Nessuno mette in dubbio la tua preparazione, non capisco a chi desideri dar prova delle tue conoscenze...[/xdom]
Nessuno mette in dubbio la tua preparazione, non capisco a chi desideri dar prova delle tue conoscenze...[/xdom]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo