Fascio di coniche dati asintoto e 2punti
Considerando la retta [tex]a: x - y + 3 = 0[/tex] e i punti [tex]B=(1,0) \ \ C=(1,2)[/tex]
determinare un' equazione del fascio di coniche passanti per [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] e aventi la retta [tex]a[/tex] come asintoto.
quindi
- dall'equazione delle direzioni degli asintoti ricavo che [tex]a_{11} = - (2a_{12} + a_{22})[/tex];
- il centro appartiene all'asintoto [tex]\rightarrow C = (x, x+3)[/tex];
- l'intersezione dei diametri = C;
- i punti B e C devono soddisfare l'eq. del fascio
e poi?? (mi manca una condizione)
Quale altra informazione posso aggiungere per ricavare il fascio?
determinare un' equazione del fascio di coniche passanti per [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] e aventi la retta [tex]a[/tex] come asintoto.
quindi
- dall'equazione delle direzioni degli asintoti ricavo che [tex]a_{11} = - (2a_{12} + a_{22})[/tex];
- il centro appartiene all'asintoto [tex]\rightarrow C = (x, x+3)[/tex];
- l'intersezione dei diametri = C;
- i punti B e C devono soddisfare l'eq. del fascio
e poi?? (mi manca una condizione)
Quale altra informazione posso aggiungere per ricavare il fascio?
Risposte
Vado di fretta però voglio darti una piccola idea.
Prova a considera il fascio tangente in $(1,1,0)$.
Prova a considera il fascio tangente in $(1,1,0)$.
E' il punto medio tra B e C e non è il centro ... Se non so a quale retta è tg, non avendo l'equazione del fascio, mi è poco chiaro a dove mi possa portare ...
Ma è tangente nel punto improprio da me indicato proprio all'asintoto. Chiamiamolo $A_infty$
Allora hai che $C_1(t_(A_infty),[BC]),C_2([A_inftyB],[A_infty,C])$ sono le coniche che formano il fascio.
Allora hai che $C_1(t_(A_infty),[BC]),C_2([A_inftyB],[A_infty,C])$ sono le coniche che formano il fascio.
Ok, scusami. I parametri direttori di [tex]a[/tex] sono [(1,1)] quindi il punto improprio di A è [(1,1,0)] e dato che gli asintoti sono tangenti di punti impropri (per coniche a centro), altrimenti polari di punti impropri, [tex]a[/tex] è tangente in [tex]A\infty[/tex] al fascio.
Quindi ho un fascio di coniche tangenti dove [tex]A\infty[/tex] ha molteplicità 2 e B e C hanno molteplicità 1.
Un' equazione del fascio allora è: [tex]x^2(1+k) - xy + 2x(1+k) +y - 2 = 0[/tex]
giusto?
Quindi ho un fascio di coniche tangenti dove [tex]A\infty[/tex] ha molteplicità 2 e B e C hanno molteplicità 1.
Un' equazione del fascio allora è: [tex]x^2(1+k) - xy + 2x(1+k) +y - 2 = 0[/tex]
giusto?
Non ho controllato i calcoli ma il ragionamento mi sembra corretto.
Va bene,
Grazie mille per l'aiuto!
Ely
Grazie mille per l'aiuto!
Ely
Problema: nello stesso es mi chiede di determinare le coniche degeneri del fascio e di classificare quelle generali al variare del parametro.
Quelle degeneri le ho già perché sono le due che ho utilizzato per determinare il fascio, mentre per quelle generali studio il determinante della matrice che rappresenta il fascio (det=0 per k=(-5/3) -> coniche generali per [tex]k\not= - \frac{5}{3}[/tex].
Ora per classificarle ho che [tex]a_{12}^2 - a_{11}a_{22} = 1 > 0 \ \rightarrow \ iperboli \ \forall k\not= - \frac{5}{3}[/tex]
fin qui, ci siamo?
Poi però mi chiede di determinare un'equazione cartesiana del luogo descritto dai centri delle coniche del fascio e di studiarlo, come si fa?
Quelle degeneri le ho già perché sono le due che ho utilizzato per determinare il fascio, mentre per quelle generali studio il determinante della matrice che rappresenta il fascio (det=0 per k=(-5/3) -> coniche generali per [tex]k\not= - \frac{5}{3}[/tex].
Ora per classificarle ho che [tex]a_{12}^2 - a_{11}a_{22} = 1 > 0 \ \rightarrow \ iperboli \ \forall k\not= - \frac{5}{3}[/tex]
fin qui, ci siamo?
Poi però mi chiede di determinare un'equazione cartesiana del luogo descritto dai centri delle coniche del fascio e di studiarlo, come si fa?
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