Fascio di coniche
Purtroppo di questa parte non dispongo di molti esercizi ed ho alcuni dubbi circa lo svolgimento.
L'esercizio è questo:
si consideri la conica$gamma : 3y^2 + 6xy + 2x − 2y = 0$
(a) Si determini un’equazione del fascio $F$ di coniche iperosculatrici $gamma$ in O.
(b) Si classifichino le coniche del fascio.
(c) Denotata con $gamma'$ l’unica parabola del fascio, se ne determinino centro, asse e vertice.
Verifico anzitutto che $gamma$ è non degenere (non potrebbe essere altrimenti). La matrice ad essa associata è $((0,3,1),(3,3,-1),(1,-1,0))$
a questo punto determino la tangente in $O$ a $gamma$, calcolo quindi la polare ed ottengo $P_O:x-y=0$
quindi il mio fascio $F$ dovrebbe essere $3y^2+6xy+2x-2y+k(x-y)^2=0$ giusto?
Quanto al punto b) pensavo di sviluppare il determinante della matrice associata al fascio e determinare al variare di $k$ se esso e degenere o no... dovrei classificare anche di che tipo di coniche si tratta?
ora il punto c). Io so che se il minore principale è uguale a $0$ allora è una parabola... quindi basta risolvere l'equazione e verificare il valore di $k$ che la soddisfa giusto?
Grazie mille per l'aiuto!
L'esercizio è questo:
si consideri la conica$gamma : 3y^2 + 6xy + 2x − 2y = 0$
(a) Si determini un’equazione del fascio $F$ di coniche iperosculatrici $gamma$ in O.
(b) Si classifichino le coniche del fascio.
(c) Denotata con $gamma'$ l’unica parabola del fascio, se ne determinino centro, asse e vertice.
Verifico anzitutto che $gamma$ è non degenere (non potrebbe essere altrimenti). La matrice ad essa associata è $((0,3,1),(3,3,-1),(1,-1,0))$
a questo punto determino la tangente in $O$ a $gamma$, calcolo quindi la polare ed ottengo $P_O:x-y=0$
quindi il mio fascio $F$ dovrebbe essere $3y^2+6xy+2x-2y+k(x-y)^2=0$ giusto?
Quanto al punto b) pensavo di sviluppare il determinante della matrice associata al fascio e determinare al variare di $k$ se esso e degenere o no... dovrei classificare anche di che tipo di coniche si tratta?
ora il punto c). Io so che se il minore principale è uguale a $0$ allora è una parabola... quindi basta risolvere l'equazione e verificare il valore di $k$ che la soddisfa giusto?
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
corretta l'equazione
Provando a svolgere il punto c) ricavo che la parabola cercata $gamma'$ ha equazione $x^2+4y^2+4xy+2x-2y=0$. Intersecando le polari di $X_infty$ e $Y_infty$ ottengo il centro $C$ di coordinate $(-2,1,0)$.
Adesso calcolo il punto $I_infty$ esso ha coordinate $(1,2,0)$ e la sua polare è l'asse della conica $P_(I_infty):5x+10y-1=0$ intersecando quest'ultima con l'equazione della conica ottengo il vertice...
è giusta la risoluzione?
Grazie mille!
Adesso calcolo il punto $I_infty$ esso ha coordinate $(1,2,0)$ e la sua polare è l'asse della conica $P_(I_infty):5x+10y-1=0$ intersecando quest'ultima con l'equazione della conica ottengo il vertice...
è giusta la risoluzione?
Grazie mille!
nessuno?
Innanzitutto sappi che non controllerò i tuoi conti. Sono troppo pigro per farlo. Inoltre, ti ricordo che io ho studiato queste cose 4 anni fa, quindi spero di non sbagliarmi.
Giusto. (Se il conto per il calcolo della polare è esatto)
Sì, secondo me, devi farlo.
Giusto. In più controlla che effettivamente abbia ancora rango $3$.
Giusto (se è esatto il calcolo della polare). Solo una cosa: se tu fossi in un esame, ti consiglierei di spiegare come hai trovato $I_{\infty}$.
P.S. Piano con gli up, che qui i moderatori sono cattivissimi.
"mistake89":
Verifico anzitutto che $gamma$ è non degenere (non potrebbe essere altrimenti). La matrice ad essa associata è $((0,3,1),(3,3,-1),(1,-1,0))$
a questo punto determino la tangente in $O$ a $gamma$, calcolo quindi la polare ed ottengo $P_O:x-y=0$
quindi il mio fascio $F$ dovrebbe essere $3y^2+6xy+2x-2y+k(x-y)^2=0$ giusto?
Giusto. (Se il conto per il calcolo della polare è esatto)
"mistake89":
Quanto al punto b) pensavo di sviluppare il determinante della matrice associata al fascio e determinare al variare di $k$ se esso e degenere o no... dovrei classificare anche di che tipo di coniche si tratta?
Sì, secondo me, devi farlo.
"mistake89":
ora il punto c). Io so che se il minore principale è uguale a $0$ allora è una parabola... quindi basta risolvere l'equazione e verificare il valore di $k$ che la soddisfa giusto?
Giusto. In più controlla che effettivamente abbia ancora rango $3$.
"mistake89":
Provando a svolgere il punto c) ricavo che la parabola cercata $gamma'$ ha equazione $x^2+4y^2+4xy+2x-2y=0$. Intersecando le polari di $X_infty$ e $Y_infty$ ottengo il centro $C$ di coordinate $(-2,1,0)$.
Adesso calcolo il punto $I_infty$ esso ha coordinate $(1,2,0)$ e la sua polare è l'asse della conica $P_(I_infty):5x+10y-1=0$ intersecando quest'ultima con l'equazione della conica ottengo il vertice...
Giusto (se è esatto il calcolo della polare). Solo una cosa: se tu fossi in un esame, ti consiglierei di spiegare come hai trovato $I_{\infty}$.
P.S. Piano con gli up, che qui i moderatori sono cattivissimi.
Ti ringrazio Cirasa, gentile come al solito!
PS Lo so, piccola infrazione, ma proprio non sapevo come continuare ed allora ho osato!
PS Lo so, piccola infrazione, ma proprio non sapevo come continuare ed allora ho osato!
Prego! Buono studio 
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