Fascio di coniche
Ciao, eccomi di nuovo. Scusate per i molti post, ma ho l'esame lunedi'.
ho questo fascio di coniche:
$x^2 + XY - 2hx + 4y - h = 0$
Tralasciando i primi due punti dell'esercizio gli altri chiedono:
(iii) Si determinino gli assi di simmetria della conica $C_0$ ottenuta per $h = 0$
(iv) Si scrivano le equazioni della riflessione $$ rispetto alla retta di equazione $X-Y +1 = 0$
(v) Dopo aver verificato che $C_0$ e' l'unica conica del fascio passante per $O(0, 0)$, si trovi la
tangente a $C_0$ in $O$.
Io ho cominciato a risolverlo e poi mi sono bloccato
Allora per il punto (III)
la conica diventa
$x^2 + XY + 4y = 0$
Ho trovato il centro della conica
$\begin{array}{c}
x+1/2y=0 \\
1/2x+2=0
\end{array}$
$\begin{array}{c}
x_0=-4 \\
y_0=8
\end{array}$
poi ho calcolato il polinomio caratteristico di $I_2$
$t^2-t-1/4=
=\frac{1+-\sqrt{2}}{2}=
=(x-\frac{1+\sqrt{2}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{2}}{2})$
ho cercato poi gli autovettori
$V_{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}=
\begin{array}{c}
(1-\frac{1+\sqrt{2}}{2}) x_1 + 1/2 x_2=0 \\
1/2 x_1 -\frac{1+\sqrt{2}}{2} x_2=0
\end{array}$
E' corretto procedere cosi' e continuare con questi calcoli abbastanza complessi?
per quanto riguarda il punto (iv) non saprei proprio dove cominciare
per il punto (v), se non ricordo male, visogna uguagliare a $0$ i termini di primo grado
e quindi avrei $4y=0$
E' corretto?
ho questo fascio di coniche:
$x^2 + XY - 2hx + 4y - h = 0$
Tralasciando i primi due punti dell'esercizio gli altri chiedono:
(iii) Si determinino gli assi di simmetria della conica $C_0$ ottenuta per $h = 0$
(iv) Si scrivano le equazioni della riflessione $$ rispetto alla retta di equazione $X-Y +1 = 0$
(v) Dopo aver verificato che $C_0$ e' l'unica conica del fascio passante per $O(0, 0)$, si trovi la
tangente a $C_0$ in $O$.
Io ho cominciato a risolverlo e poi mi sono bloccato
Allora per il punto (III)
la conica diventa
$x^2 + XY + 4y = 0$
Ho trovato il centro della conica
$\begin{array}{c}
x+1/2y=0 \\
1/2x+2=0
\end{array}$
$\begin{array}{c}
x_0=-4 \\
y_0=8
\end{array}$
poi ho calcolato il polinomio caratteristico di $I_2$
$t^2-t-1/4=
=\frac{1+-\sqrt{2}}{2}=
=(x-\frac{1+\sqrt{2}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{2}}{2})$
ho cercato poi gli autovettori
$V_{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}=
\begin{array}{c}
(1-\frac{1+\sqrt{2}}{2}) x_1 + 1/2 x_2=0 \\
1/2 x_1 -\frac{1+\sqrt{2}}{2} x_2=0
\end{array}$
E' corretto procedere cosi' e continuare con questi calcoli abbastanza complessi?
per quanto riguarda il punto (iv) non saprei proprio dove cominciare
per il punto (v), se non ricordo male, visogna uguagliare a $0$ i termini di primo grado
e quindi avrei $4y=0$
E' corretto?
Risposte
beg∈{array}{c}
x+1/2y=0 \\
1/2x+2=0
\end{array}
beg∈{array}{c}
x_0=-4 \\
y_0=8
\end{array}
poi ho calcolato il polinomio caratteristico di I2
t2-t-14=
=\frac{1+-\sqrt{2}}{2}=
=(x-\frac{1+\sqrt{2}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{2}}{2})
ho cercato poi gli autovettori
V1+22=
\begin{array}{c}
(1-\frac{1+\sqrt{2}}{2}) x_1 + 1/2 x_2=0 \\
1/2 x_1 -\frac{1+\sqrt{2}}{2} x_2=0
\end{array}
Direi che è poco leggibile.
"franced":
Direi che è poco leggibile.
Scusami se non e' leggibile, ma con lo screen reader non riesco a capire visivamente come viene.
Ho provato a modificarlo, speriamo che vada meglio.
Riparto dallo svolgimento del punto (iii)
la conica diventa
$x^2 + XY + 4y = 0$
Ho trovato il centro della conica
$x+1/2y=0$, $1/2x+2=0$
risolvendo mi viene $c=(-4,8)$
poi ho calcolato il polinomio caratteristico di $I_2$
$t^2-t-1/4=$
$=\frac{1+-\sqrt{2}}{2}=$
$(x-\frac{1+\sqrt{2}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{2}}{2})$
ho cercato poi gli autovettori per l'autovalore $\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$
$(1-\frac{1+\sqrt{2}}{2}) x_1 + 1/2 x_2=0$$,
$1/2 x_1 -\frac{1+\sqrt{2}}{2} x_2=0$
E' corretto procedere cosi' e continuare con questi calcoli abbastanza complessi?
per quanto riguarda il punto (iv) non saprei proprio dove cominciare
per il punto (v), se non ricordo male, visogna uguagliare a $0$ i termini di primo grado
e quindi avrei $4y=0$
E' corretto?
Devi diagonalizzare la matrice 2x2 "in alto a sinistra".
Quindi il tuo procedimento è ok.
Un'osservazione: in questo caso particolare puoi ricavarti la $y$:
$y = - (x^2)/(x+4)$
si tratta di un'iperbole i cui asintoti sono
$x = -4$
e
$y = - x + 4$ (ottenuta mediante divisione polinomiale).
Gli assi di simmetria sono le due bisettrici di queste due rette.
Si tratta, lo ripeto, di un procedimento che non puoi seguire sempre;
in generale, si procede con la diagonalizzazione della matrice 2x2.
Ho fatto i conti e ho trovato le equazioni dei due assi:
$y = (sqrt(2) - 1) x + 4 + 4 sqrt(2)$
$y = (-sqrt(2) - 1) x + 4 - 4 sqrt(2)$ .
Quindi il tuo procedimento è ok.
Un'osservazione: in questo caso particolare puoi ricavarti la $y$:
$y = - (x^2)/(x+4)$
si tratta di un'iperbole i cui asintoti sono
$x = -4$
e
$y = - x + 4$ (ottenuta mediante divisione polinomiale).
Gli assi di simmetria sono le due bisettrici di queste due rette.
Si tratta, lo ripeto, di un procedimento che non puoi seguire sempre;
in generale, si procede con la diagonalizzazione della matrice 2x2.
Ho fatto i conti e ho trovato le equazioni dei due assi:
$y = (sqrt(2) - 1) x + 4 + 4 sqrt(2)$
$y = (-sqrt(2) - 1) x + 4 - 4 sqrt(2)$ .
"franced":
Un'osservazione: in questo caso particolare puoi ricavarti la $y$:
$y = - (x^2)/(x+4)$
si tratta di un'iperbole i cui asintoti sono
$x = -4$
e
$y = - x + 4$ (ottenuta mediante divisione polinomiale).
Gli assi di simmetria sono le due bisettrici di queste due rette.
Si tratta, lo ripeto, di un procedimento che non puoi seguire sempre;
in generale, si procede con la diagonalizzazione della matrice 2x2.
Ho fatto i conti e ho trovato le equazioni dei due assi:
$y = (sqrt(2) - 1) x + 4 + 4 sqrt(2)$
$y = (-sqrt(2) - 1) x + 4 - 4 sqrt(2)$ .
Puoi spiegarmi meglio come hai calcolato gli asintoti?
Molto semplice.
Le rette sono
$x + 4 = 0$
e
$x + y - 4 = 0$
basta scrivere la condizione di equidistanza di un generico punto $(x,y)$
da entrambe le rette e il gioco è fatto:
$|x + 4| = (|x + y - 4|)/(sqrt(2))$
le due rette hanno equazione
$x + 4 = (x + y - 4)/(sqrt(2))$
e
$x + 4 = - (x + y - 4)/(sqrt(2))$
semplificando ottieni le equazioni che ho scritto sopra.
Le rette sono
$x + 4 = 0$
e
$x + y - 4 = 0$
basta scrivere la condizione di equidistanza di un generico punto $(x,y)$
da entrambe le rette e il gioco è fatto:
$|x + 4| = (|x + y - 4|)/(sqrt(2))$
le due rette hanno equazione
$x + 4 = (x + y - 4)/(sqrt(2))$
e
$x + 4 = - (x + y - 4)/(sqrt(2))$
semplificando ottieni le equazioni che ho scritto sopra.
Ecco il grafico:
E' troppo grande la figura?
E' troppo grande la figura?
"franced":
Ecco il grafico:
E' troppo grande la figura?
Grazie del grafico, purtroppo come ti dicevo ieri non posso apprezzare igrafici perche' uso una sintesi vocale per leggere lo schermo.
Un'ultima cosa... Da dove si puo' partire per effettuare una riflessione di una conica rispetto ad una retta?
"caronte559":
Un'ultima cosa... Da dove si puo' partire per effettuare una riflessione di una conica rispetto ad una retta?
Non capisco la domanda.
Hai una conica e devi fare la simmetria assiale rispetto a una retta?
Oppure si tratta di altro?
Devi specificare meglio la tua richiesta.
"franced":
Non capisco la domanda.
Hai una conica e devi fare la simmetria assiale rispetto a una retta?
Oppure si tratta di altro?
Devi specificare meglio la tua richiesta.
Non sono sicuro, ma credo che bisogna trovare la conica che specchia tutti i punti della conica di partenza rispetto ad una data retta.
Ad esempio se la retta fosse l'asse delle ordinate,
Il riflesso del punto $(2,1)$ sarebbe $(-2,1)$
L'unica cosa che mi e' venuta in mente e' di trovare 5 punti della conica originale, rifletterli rispetto alla retta data e ricavare la conica che passa per i 5 punti riflessi.
Ah, ma stai parlando del punto iv) del tuo esercizio!!
La faccenda è semplice:
si tratta di una retta molto particolare.
La faccenda è semplice:
si tratta di una retta molto particolare.
"franced":
Ah, ma stai parlando del punto iv) del tuo esercizio!!
La faccenda è semplice:
si tratta di una retta molto particolare.
Ho svolto i calcoli, sono corretti?
$R: X-Y +1 = 0$
prendo un generico punto
$p=(x_1,y_1)$
l'equazione della retta perpendicolare ad $R$ e passante per $p$ e':
$R_{perp}=x+y=x_1+y_1$
metto a sistema $R$ e $R_{perp}
$x=1/2 y_1+1/2 x_1 - 1/2$
$y=1/2 x_1+1/2 y_1+1/2$
$h=(1/2 x_1+1/2 y_1-1/2,1/2 x_1+1/2 y_1+1/2)
$p'=2h-p$
le equazioni della riflessione sono:
$x_2=y_1-1$
$y_2= x_1+1$
quindi prendendo $x'$ e $y'$ come nuove incognite abbiamo
$x=y'-1$
$y=x'+1$
l'equazione della conica diventa:
$(y'-1(^2 + (x'+1)(y'-1) + 4(x'+1) = 0$
$y'^2+1-2y' + x'y'-x'+y'-1 + 4(x'^2+1+2x')= 0$
$y'^2 + x'y' + 4x'^2+4+7x'-y'= 0$
Ho usato geogebra e i risultati sono i seguenti:
l'equazione della conica simmetrica di $x^2 + xy + 4y = 0$
rispetto alla retta $x - y + 1 = 0$ è
$xy + y^2 + 3x - y + 4 = 0$ .
Tu hai commesso un errore di calcolo:
hai elevato al quadrato il termine $(x'+1)$ ma non è alla seconda!!
Riguarda i conti, ok?
Ciao.
l'equazione della conica simmetrica di $x^2 + xy + 4y = 0$
rispetto alla retta $x - y + 1 = 0$ è
$xy + y^2 + 3x - y + 4 = 0$ .
Tu hai commesso un errore di calcolo:
hai elevato al quadrato il termine $(x'+1)$ ma non è alla seconda!!
Riguarda i conti, ok?
Ciao.
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