Fascio di coniche
Ciao a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio presente sul mio libro
Nel piano euclideo ampliato sia dato il fascio di coniche
$ 4x^2+4xy+ky^2 +4x-10y-1-k=0 $
Di tale fascio si determinino i punti base, le coniche riducibili ed eventuali tangenti a tutte le coniche.
Ho studiato il sistema e ho trovato in questo modo i punti base
ho messo a sistema dopo aver trasformato in coordinate omogenee
$ { ( x2^2-x3^2=0 ),( 4x1^2+4x1x2+4x1x3-10x2x3-x3^2=0 ):} $
da cui
$ { ( x2=x3 ),( 4x1^2+4x1x3+4x1x3-10x3^2-x3^2=0 ):} $
e ancora $ { ( x2=x3 ),( 4x1^2+8x1x3-11x3^2=0 ):} $
utilizzando il completamente del quadrato aggiungendo $ 15x3^2 $
$ { ( x2=x3 ),( 4x1^2+8x1x3-11x3^2 +15x3^2 =+15x3^2 ):} $
$ { ( x2=x3 ),( (2x1+2x3)^2=15x3^2 ):} $
applico la radice
$ { ( x2=x3 ),( 2x1+2x3= +-sqrt(15)x3 ):} $
$ { ( x2=x3 ),( x1= +-(sqrt(15)-2)/2 ):} $
è un fascio bitangente e i punti base sono
$ (sqrt(15)-2, 2, 2) $ con molteplicità 2
$ (-sqrt(15)-2, 2, 2) $ con molteplicità 2
per trovare adesso le coniche riducibili
pongo il determinante della matrice associata al fascio di coniche uguale a 0
$ | ( 4 , 2 , 2 ),( 2 , k , -5 ),( 2 , -5 , -1-k ) | $
il determinante risulta
$ k^2+k+34=0 $
vengono delle soluzioni immaginarie, quindi adesso non so come fare a trovare le coniche degeneri del fascio,
qualcuno può aiutarmi gentilmente?
Grazi in anticipo!!!
Nel piano euclideo ampliato sia dato il fascio di coniche
$ 4x^2+4xy+ky^2 +4x-10y-1-k=0 $
Di tale fascio si determinino i punti base, le coniche riducibili ed eventuali tangenti a tutte le coniche.
Ho studiato il sistema e ho trovato in questo modo i punti base
ho messo a sistema dopo aver trasformato in coordinate omogenee
$ { ( x2^2-x3^2=0 ),( 4x1^2+4x1x2+4x1x3-10x2x3-x3^2=0 ):} $
da cui
$ { ( x2=x3 ),( 4x1^2+4x1x3+4x1x3-10x3^2-x3^2=0 ):} $
e ancora $ { ( x2=x3 ),( 4x1^2+8x1x3-11x3^2=0 ):} $
utilizzando il completamente del quadrato aggiungendo $ 15x3^2 $
$ { ( x2=x3 ),( 4x1^2+8x1x3-11x3^2 +15x3^2 =+15x3^2 ):} $
$ { ( x2=x3 ),( (2x1+2x3)^2=15x3^2 ):} $
applico la radice
$ { ( x2=x3 ),( 2x1+2x3= +-sqrt(15)x3 ):} $
$ { ( x2=x3 ),( x1= +-(sqrt(15)-2)/2 ):} $
è un fascio bitangente e i punti base sono
$ (sqrt(15)-2, 2, 2) $ con molteplicità 2
$ (-sqrt(15)-2, 2, 2) $ con molteplicità 2
per trovare adesso le coniche riducibili
pongo il determinante della matrice associata al fascio di coniche uguale a 0
$ | ( 4 , 2 , 2 ),( 2 , k , -5 ),( 2 , -5 , -1-k ) | $
il determinante risulta
$ k^2+k+34=0 $
vengono delle soluzioni immaginarie, quindi adesso non so come fare a trovare le coniche degeneri del fascio,
qualcuno può aiutarmi gentilmente?
Grazi in anticipo!!!
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