Fascio canonico - varietà proiettive

[alfiere15]

Buonasera!
Spero di scrivere nella sezione giusta!
Sono alla ricerca di dispense e/o libri che introducano e diano le proprietà relative al fascio/fibrato canonico (canonical bundle) $omega_X$ su una varietà proiettiva e a ciò che in inglese si chiama "line bundle".
Non avendo mai incontrato queste nozioni, ho riportato anche i nomi in inglese, sperando che qualcuno mi possa aiutare.
Grazie mille!

[hydro1]

Credo che qualsiasi testo di introduzione alla geometria algebrica ne parli più o meno in dettaglio. Hai provato a guardare Hartshorne "Algebraic geometry", Shafarevich "Basic algebraic geometry", Griffiths-Harris "Principles of algebraic geometry" o le note di Vakil qui?

[j18eos]

Supponendo che la varietà proiettiva \(\displaystyle X\) (su un campo \(\displaystyle\mathbb{K}\) che ometterò) sia liscia allora il canonical bundle è definito come \(\displaystyle K_X=\bigwedge^{\dim X}\Omega_X^1\) ove \(\displaystyle\Omega_X^1\) è il cotangent bundle di \(\displaystyle X\).

Un'ottima dispens(on)a (utilizzando il linguaggio degli schemi) sarebbe Foundations of Algebraic Geometry di R. D. Vakil;

nel caso delle manifolds (complesse?) dovresti consultare Principles of Algebraic Geometry di P. Griffiths e J. Harris;

dùbito che ci sia qualcosa su Complex Geometry di D. Huybrechts.

UPDATE: se \(\displaystyle X\) fosse solo normale, allora una buona definizione del canonical sheaf \(\displaystyle\omega_X\) richiederebbe la dualità di Serre, e ti raccomando FOAG di Vakil!

[alfiere15]

Perfetto! Vi ringrazio per queste indicazioni! Controllerò sui libri e le note che mi avete consigliato!

[j18eos]

...dimenticavo di scrivere che, nel caso liscio e senza cambiare le notazioni, (displaystyleomega_X) è il fascio delle sezioni di (displaystyle K_X).

Nel caso singolare, (displaystyle K_X) non è (secondo la precedente definizione) un vector bundle.