Fasci di gruppi non abeliani e coomologia...
scusate, l'avevo postato nella sezione di algebra...cissà forse è più appropriato qui
ciao, mi sono imbattuto nel seguente problema:
ho una succ. esatta di fasci di gruppi non necessariamente abeliani su una varietà X
1 -> G' -> G -> G'' -> 1
devo mostrare che esiste una succ. esatta 1 -> H^0(X,G') -> H^0(X,G) -> H^0(X,G'') -> H^1(X,G') -> H^1(X,G) -> H^1(X,G'')
dove le prime tre frecce sono morfismi di gruppi, mentre le altre tre sono morfismi di insiemi puntati (succ. esatta nel senso che l'antimmagine del "fibrato banale" è uguale all'immagine della mappa presedente)
il problema è: non ho mai sentito palare di coomologia di Cech a valori in un fascio di gruppi NON abeliani...se si può fare, cosa comporta (generalizzare di solito ha un prezzo)?
oppure: senza parlare di coomologia di Cech, possiamo comunque definire H^0 e H^1 -e forse è questo il senso dell'esercizio- così:
H^0(X,G) = G(X) cioè le sezioni globali, mentre H^1(X,G) si intende il limite diretto sui raffinamenti di ricoprimenti di classi di equivalenza cocicli, considerando due cocicli equivalenti se sono uguali a meno di coniugio (scusate se sono un po' impreciso, è solo per non appesantire la lettura....se aveste bisogno di più chiarezza su questo mi spiegherò meglio)
che ne pensate?
di una cosa sono sicuro: se i gruppi fossero abeliani, so che ha perfettamente senso parlare i coom. di Cech, e non solo: in tal caso esiste una successione esatta LUNGA in coomologia (non solo fino ad H^1), e saprei anche come dimostrare questo fatto: ad esempio http://www.mat.uniroma2.it/~fbracci/dow ... ibrati.pdf teorema 7.7 a pagg. 115-116
sicuramente il prof specifica che gli H^1(X,G) NON sono gruppi, ma solo insiemi puntati, mentre per la coom. di Chech, gli H^p(X,G) sono gruppi abeliani!!
ciao e grazie per l'attenzione
(e soprattutto: non so quanto sia stato chiaro nell'esporre il problema: segnalate pure i punti oscuri, cosicchè possa spiegarmi meglio
)
ciao, mi sono imbattuto nel seguente problema:
ho una succ. esatta di fasci di gruppi non necessariamente abeliani su una varietà X
1 -> G' -> G -> G'' -> 1
devo mostrare che esiste una succ. esatta 1 -> H^0(X,G') -> H^0(X,G) -> H^0(X,G'') -> H^1(X,G') -> H^1(X,G) -> H^1(X,G'')
dove le prime tre frecce sono morfismi di gruppi, mentre le altre tre sono morfismi di insiemi puntati (succ. esatta nel senso che l'antimmagine del "fibrato banale" è uguale all'immagine della mappa presedente)
il problema è: non ho mai sentito palare di coomologia di Cech a valori in un fascio di gruppi NON abeliani...se si può fare, cosa comporta (generalizzare di solito ha un prezzo)?
oppure: senza parlare di coomologia di Cech, possiamo comunque definire H^0 e H^1 -e forse è questo il senso dell'esercizio- così:
H^0(X,G) = G(X) cioè le sezioni globali, mentre H^1(X,G) si intende il limite diretto sui raffinamenti di ricoprimenti di classi di equivalenza cocicli, considerando due cocicli equivalenti se sono uguali a meno di coniugio (scusate se sono un po' impreciso, è solo per non appesantire la lettura....se aveste bisogno di più chiarezza su questo mi spiegherò meglio)
che ne pensate?
di una cosa sono sicuro: se i gruppi fossero abeliani, so che ha perfettamente senso parlare i coom. di Cech, e non solo: in tal caso esiste una successione esatta LUNGA in coomologia (non solo fino ad H^1), e saprei anche come dimostrare questo fatto: ad esempio http://www.mat.uniroma2.it/~fbracci/dow ... ibrati.pdf teorema 7.7 a pagg. 115-116
sicuramente il prof specifica che gli H^1(X,G) NON sono gruppi, ma solo insiemi puntati, mentre per la coom. di Chech, gli H^p(X,G) sono gruppi abeliani!!
ciao e grazie per l'attenzione
(e soprattutto: non so quanto sia stato chiaro nell'esporre il problema: segnalate pure i punti oscuri, cosicchè possa spiegarmi meglio
)
Risposte
Un esempio piuttoto naturale di fascio di gruppi non commutativi e' quello che si ottiene prendendo il (fascio delle sezioni del) GL di un fibrato $k^r = F\to E\to B$: leggi qui, pag. 11 e segg. per vedere che la coomologia di Cech si estende agli insiemi di coomologia, in quello e (credo) in altri casi.
wow, grazie della tempestività.......
effetivamente mi è venuto in mente il caso di GL, che non è abeliano, solo che col prof che ha proposto l'esercizio abbiamo affrontato solo H^0 e H^1 a valori in un qualunque fascio di gruppi.......mentre seguendo le dispense di bracci si parla di "coomologia di Cech a valori in un fascio di gruppi ABELIANI"....sembra evidente che le due cose coincidano: se non ho tralasciato nulla ho provato a ricostruire dalle dispense di bracci la coom. a valori in un fascio di gruppi non abeliani....sembra tutto ok(!?)
in sostanza le domande che faccio sono:
- c'è un prezzo da pagare? (sembra di no)
- riadattare la dimostrazione di 7.7 al mio esercizio può andare?(sembra di sì) (insomma, basta fermarsi al caso p=1)
-visto che nell'esercizio ci siamo fermati solo a H^1, non è che magari c'è un modo più semplice di risolverlo?(chissà)
ciaao e grazie ancora!!
effetivamente mi è venuto in mente il caso di GL, che non è abeliano, solo che col prof che ha proposto l'esercizio abbiamo affrontato solo H^0 e H^1 a valori in un qualunque fascio di gruppi.......mentre seguendo le dispense di bracci si parla di "coomologia di Cech a valori in un fascio di gruppi ABELIANI"....sembra evidente che le due cose coincidano: se non ho tralasciato nulla ho provato a ricostruire dalle dispense di bracci la coom. a valori in un fascio di gruppi non abeliani....sembra tutto ok(!?)
in sostanza le domande che faccio sono:
- c'è un prezzo da pagare? (sembra di no)
- riadattare la dimostrazione di 7.7 al mio esercizio può andare?(sembra di sì) (insomma, basta fermarsi al caso p=1)
-visto che nell'esercizio ci siamo fermati solo a H^1, non è che magari c'è un modo più semplice di risolverlo?(chissà)
ciaao e grazie ancora!!
Vuoi la risposta assurdamente generale o quella adatta al tuo caso? 
Si puo' fare algebra omologica non-abeliana e le categorie che permettono di farlo si chiamano, appunto, categorie omologiche. Come vedi il problema di etendere le costruzioni dell'algebra omologica al caso non-additivo, con le sole ipotesi di esattezza, sembra sia stato studiato da Borceux e Janelidze. Il motivo credo sia sepolto nel fatto che la nozione di categoria abeliana in certi contesti e' fin troppo restrittiva (molte categorie di moduli topologici, anche su anelli discreti, non sono categorie abeliane, perche' viene meno il bilanciamento, ossia ci sono mono-epi che non sono isomorfismi).
Il suddetto problema di fare algebra omologica "non commutativa" e' interessante nel ramo della sola topologia algebrica; se avessi piu' tempo approfondirei volentieri...
Una cosa che trovo comunque curiosa e' che (dal pdf sui fibrati che ti ho linkato) resta comunque determinata una biiezione tra l'$H^1$ di Cech e l'insieme delle classi di isomorfismo di fibrati vettoriali di rango r; chiunque maneggi un po' di K-teoria allora potrebbe chiedersi: non e' che una qualche struttura, di semigruppo, o di gruppo, la trovi lo stesso sull'H^1, per semplice trasporto?
Si puo' fare algebra omologica non-abeliana e le categorie che permettono di farlo si chiamano, appunto, categorie omologiche. Come vedi il problema di etendere le costruzioni dell'algebra omologica al caso non-additivo, con le sole ipotesi di esattezza, sembra sia stato studiato da Borceux e Janelidze. Il motivo credo sia sepolto nel fatto che la nozione di categoria abeliana in certi contesti e' fin troppo restrittiva (molte categorie di moduli topologici, anche su anelli discreti, non sono categorie abeliane, perche' viene meno il bilanciamento, ossia ci sono mono-epi che non sono isomorfismi).
Il suddetto problema di fare algebra omologica "non commutativa" e' interessante nel ramo della sola topologia algebrica; se avessi piu' tempo approfondirei volentieri...
Una cosa che trovo comunque curiosa e' che (dal pdf sui fibrati che ti ho linkato) resta comunque determinata una biiezione tra l'$H^1$ di Cech e l'insieme delle classi di isomorfismo di fibrati vettoriali di rango r; chiunque maneggi un po' di K-teoria allora potrebbe chiedersi: non e' che una qualche struttura, di semigruppo, o di gruppo, la trovi lo stesso sull'H^1, per semplice trasporto?
molto interessante!!
diciamo che le domande erano sia sul caso generale, che sul mio caso...
sul caso generale: fantastico!!!
" non e' che una qualche struttura, di semigruppo, o di gruppo, la trovi lo stesso sull'H^1, per semplice trasporto?"
perchè -scusa l'ignoranza - ma che struttura di (semi)gruppo avrebbero i fib. vett. di rango fissato? l'unica che conosco è la nota struttura di gruppo su quelli lineari col prodotto tensoriale.......che io sappia per rango maggiore di uno sono giusto insiemi puntati.....
restano valide le domande a proposito del mio particolarissimo caso:
-il riadattamento con p=1 di 7.7 và bene?(a questo punto,vista la tua risposta, penso proprio di sì)
-ci sarà un modo più semplice per dimostrarlo, visto che qui cerco un raffinamento che vada bene solo per p=1?
mi spiego: il passaggio più delicato della dim. 7.7 di bracci è, secondo me, il fatto che non si può usare il lemma del serpente, e come questo problema venga aggirato:
leggendo la dim., bracci dimostra che per ogni p esiste un ricoprimento aperto loc. finito e un p-cociclo che rappresenta sigma nel limite diretto....ATTENZIONE il ricoprimento che lui trova dipende da p, ma questo sarà infine irrilevante, perchè alla fine si passa al limite diretto sui raffinamenti........dunque nel mio caso, in cui c'è solo p=1, magari tutto si risolve più semplicemente?????
ho sempre il timore di non essere chiaro, e forse le mie domande sono superflue...comunque, è la prima volta che partecipo a questo forum, e devo dire che in ogni caso è un'attività molto stimolante, soprattutto per me che son piccolino e che ho la fortuna di chiaccherare con qualcuno/a molto più esperto di me!!!
(scusate la riflessione personale)
diciamo che le domande erano sia sul caso generale, che sul mio caso...
sul caso generale: fantastico!!!
" non e' che una qualche struttura, di semigruppo, o di gruppo, la trovi lo stesso sull'H^1, per semplice trasporto?"
perchè -scusa l'ignoranza - ma che struttura di (semi)gruppo avrebbero i fib. vett. di rango fissato? l'unica che conosco è la nota struttura di gruppo su quelli lineari col prodotto tensoriale.......che io sappia per rango maggiore di uno sono giusto insiemi puntati.....
restano valide le domande a proposito del mio particolarissimo caso:
-il riadattamento con p=1 di 7.7 và bene?(a questo punto,vista la tua risposta, penso proprio di sì)
-ci sarà un modo più semplice per dimostrarlo, visto che qui cerco un raffinamento che vada bene solo per p=1?
mi spiego: il passaggio più delicato della dim. 7.7 di bracci è, secondo me, il fatto che non si può usare il lemma del serpente, e come questo problema venga aggirato:
leggendo la dim., bracci dimostra che per ogni p esiste un ricoprimento aperto loc. finito e un p-cociclo che rappresenta sigma nel limite diretto....ATTENZIONE il ricoprimento che lui trova dipende da p, ma questo sarà infine irrilevante, perchè alla fine si passa al limite diretto sui raffinamenti........dunque nel mio caso, in cui c'è solo p=1, magari tutto si risolve più semplicemente?????
ho sempre il timore di non essere chiaro, e forse le mie domande sono superflue...comunque, è la prima volta che partecipo a questo forum, e devo dire che in ogni caso è un'attività molto stimolante, soprattutto per me che son piccolino e che ho la fortuna di chiaccherare con qualcuno/a molto più esperto di me!!!
(scusate la riflessione personale)
che struttura di (semi)gruppo avrebbero i fib. vett. di rango fissato?
In effetti mi sono espresso (e ricordavo) male, my fault: ad avere una struttura di semigruppo abeliano e' la famiglia di tutti i fibrati vettoriali (p. es. complessi) su $X$, modulo isomorfismo. Si chiama K-teoria: se non sai di che si tratta, pag. 58 e segg. di Lawson-Michelson, Spin Geometries.
su tutto il resto sono piuttosto stanco persino per leggerlo, quindi per ora passo. Solo una cosa:per me che son piccolino e che ho la fortuna di chiaccherare con qualcuno/a molto più esperto di me!
Se fai coomologia di fasci proprio piccolo piccolo non sei. Pensa che c'e' chi ci andra' nella tomba, senza aver mai nemmeno trovato un gruppo di Picard
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