$f: RR^3->RR^3$ lineare e diagonalizzabile..

[Kashaman]

Salve ragazzi, vorrei avere un riscontro riguardo il seguente quesito :

E dato un endomorfismo diagonalizzabile $f:RR^3->RR^3$ avente base diagonalizzante
$B={v_1,v_2,v_3}$
dove
$v_1=(1,2,0),v_2=(0,1,1),v_3=(0,1,-1)$
Si assuma che $3 \in Sp(f)$ (1) e inoltre che $f(v_1)=f(v_2)$ (2)
Determinare una base di $Imf$ e una di $Kerf$.

Per ipotesi $f$ è diagonalizzabile e $B$ è una base diagonalizzante per $f =>$ $v_1,v_2,v_3$ sono autovettori di $f$, cioè
$EE ! \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \in RR : f(v_1)=\lambda_1v_1 , f(v_2)=\lambda_2 v_2, f(v_3)=\lambda_3v_3$.
Poiché vale la condizione (2) si ha che $\lambda_1 v_1 - \lambda_2 v_2 = 0_{RR^3}$, poiché $v_1$ e $v_2$ sono linearmente indipendenti ne segue allora che $lambda_1=\lambda_2=0$.
Poiché vale la (1) , necessariamente deve essere che $\lambda_3=3$
Dunque la nostra $f$ è tale che
$f(v_1)=f(v_2)=0 , f(v_3)=3v_3$
Si ha inoltre che la matrice associata ad $f$ rispetto a tale base risulta essere
$A=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,3))$
Poiché $rg(A)=1 => dimImf=1$ e si ha che una base di $Imf$ è data da $B_{Imf}={3v_3}$ , dal teorema del rango si evince che $dimKerf=2$ e poiché $v_1,v_2$ sono linearmente indipendenti e per definizione di $f$ stanno nel nucleo, si ha che una base di $Kerf$ è data dai vettori ${v_1,v_2}$.


Vi convince? Thanks

[_prime_number]

Va benissimo, complimenti per l'ordine, è il metodo giusto per affrontare questo tipo di problemi .

Paola