$F : RR_3[x] -> M_2(RR)$ lineare
Sia $F : RR_3[x] -> M_2(RR)$ l'applicazione lineare tale che $AA p \in RR_3[x] : F(p)=((p(1),p(0)),(p(0),p(-1)))$ e sia $A=((2,0),(0,-2))$
L'esercizio mi chiede di determinare $F^-1(W)$ dove $W=$.
Innanzi tutto fisso una base di $RR_3[x]$ , $B={1,x,x^2,x^3}$ e una di $M_2(RR)$ , $C={E_1,E_2,E_3,E_4}$ (è quella standard).
E si ha che la matrice associata a $F$ rispetto a tali basi è data da
$A=((1,1,1,1),(1,0,0,0),(1,0,0,0),(1,-1,1,-1))$.
Ho che $F^-1(W) = {p \in RR_3[x] | EE w \in W t.c F(p)=w}$. Preso $w= ((2\lambda,0),(0, -2\lambda))$ generico vettore di $W$ . Ho da risolvere l'equazione $F(p)=w$-
Detto $X=((a),(b),(c),(d))$ le coordinate di $p$ rispetto alla base $B$ e $Y=((-2\lambda),(0),(0),(2\lambda))$ quelle di $w$ rispetto alla base $C$.
Ho che $F(p)=w <=> AX=Y$.
Risolvendo il sistemino ottengo
$F^-1(W)= { p=a+bx+cx^2+dx^3 \in RR_3[x] | a=c=0 , b=2\lambda-d} ={p=(2\lambda-d)x +dx^3 |d \in RR}$. Vi sembra corretto?
Non mi convince un fatto , scritto così $F^-1(W)$ non risulta essere uno spazio vettoriale
dove sbaglio? grazie mille
L'esercizio mi chiede di determinare $F^-1(W)$ dove $W=$.
Innanzi tutto fisso una base di $RR_3[x]$ , $B={1,x,x^2,x^3}$ e una di $M_2(RR)$ , $C={E_1,E_2,E_3,E_4}$ (è quella standard).
E si ha che la matrice associata a $F$ rispetto a tali basi è data da
$A=((1,1,1,1),(1,0,0,0),(1,0,0,0),(1,-1,1,-1))$.
Ho che $F^-1(W) = {p \in RR_3[x] | EE w \in W t.c F(p)=w}$. Preso $w= ((2\lambda,0),(0, -2\lambda))$ generico vettore di $W$ . Ho da risolvere l'equazione $F(p)=w$-
Detto $X=((a),(b),(c),(d))$ le coordinate di $p$ rispetto alla base $B$ e $Y=((-2\lambda),(0),(0),(2\lambda))$ quelle di $w$ rispetto alla base $C$.
Ho che $F(p)=w <=> AX=Y$.
Risolvendo il sistemino ottengo
$F^-1(W)= { p=a+bx+cx^2+dx^3 \in RR_3[x] | a=c=0 , b=2\lambda-d} ={p=(2\lambda-d)x +dx^3 |d \in RR}$. Vi sembra corretto?
Non mi convince un fatto , scritto così $F^-1(W)$ non risulta essere uno spazio vettoriale
dove sbaglio? grazie mille
Risposte
Mi sembra che tu stia tentando di ammazzare i passeri con un cannone. Non è più facile risolverlo così: dal momento che per definizione $W=\{\lambda A\ :\ \lambda\in RR\}$ e che $F^{-1}(W)=\{p\in RR_3[x]\ :\ F(p)=\lambda A\}$ allora, se il generico $p(x)=a+bx+cx^2+dx^3$ si ha
$a+b+c+d=2\lambda,\ a=0,\ a-b+c-d=-2\lambda$
da cui segue subito $a=c=0$, $b=2\lambda-d$ e quindi
$F^{-1}(W)=\{(2\lambda-d)x+dx^3\ :\ d\in RR\}$
Perché non ti risulta uno spazio vettoriale, scusa? La combinazione lineare di due polinomi di quel tipo è ancora un polinomio di quel tipo.
$a+b+c+d=2\lambda,\ a=0,\ a-b+c-d=-2\lambda$
da cui segue subito $a=c=0$, $b=2\lambda-d$ e quindi
$F^{-1}(W)=\{(2\lambda-d)x+dx^3\ :\ d\in RR\}$
Perché non ti risulta uno spazio vettoriale, scusa? La combinazione lineare di due polinomi di quel tipo è ancora un polinomio di quel tipo.
Giusto! grazie Ciamp!
Prego: tornando a quel tuo dubbio, probabilmente ti sei fatto ingannare dalla presenza del $\lambda$. Giusto per essere formali e per non far sembrare che ho ho dimostrato le cose con un "si vede" (che poi passa gugo e litighiamo!), supponiamo che $p(x)=ax^3+(2\lambda-d)x,\ q(x)=bx^3+(2\mu-b)x$ siano due polinomi che danno l'uogo a due lementi $\lambda A$ e $\mu A$ di $W$. Se $\alpha,\beta\in RR$ allora
$\alpha p+\beta q=(\alpha a+\beta b)x^3+[2(\alpha\lambda+\beta\mu)-(\alpha a+\beta b)]x$
che è ancora un polinomio dello stesso tipo e che resta associato alla matrice $(\alpha\lambda+\beta\mu)A$ (e come vedi, la linearità rimane conservata anche sulla applicazione).
$\alpha p+\beta q=(\alpha a+\beta b)x^3+[2(\alpha\lambda+\beta\mu)-(\alpha a+\beta b)]x$
che è ancora un polinomio dello stesso tipo e che resta associato alla matrice $(\alpha\lambda+\beta\mu)A$ (e come vedi, la linearità rimane conservata anche sulla applicazione).
sei stato molto chiaro, grazie infinite ciampax
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