F diagonalizzabile

[black_dragon1]

Salve, potete spiegarmi passo passo (se possibile anche con giustificazioni teoriche) la risoluzione di questo esercizio? Non so proprio da dove cominciare.

Assegnato l'endomorfismo:

Fh: (x,y,z) € R^3 ------> (hx+hy,x+y,2hx+3hy+hz) € R^3
dipendente ovviamente dal parametro h.

DETERMINARE i valori di h € R tali che Fh sia diagonalizzabile.

RISPOSTA: h diverso da -1.

[Seneca1]

Conosci qualche criterio riguardante la diagonalizzabilità di un endomorfismo?

[black_dragon1]

sisi, ad esempio f è diagonalizzabile se e solo se la matrice associata all'endomorfismo f è una matrice diagonale, oppure f diagonalizzabile se e solo esiste una base di autovettori

[Sk_Anonymous]

Intanto:

$det((h-lambda,h,0),(1,1-lambda,0),(2h,3h,h-lambda))=0 rarr [lambda(lambda-h)(lambda-h-1)=0] rarr [lambda=0] vv [lambda=h] vv [lambda=h+1]$

Inoltre, se la matrice ammette $[3]$ autovalori distinti, è sicuramente diagonalizzabile. Viceversa, è necessario determinare la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore doppio.