[EX]Geometria affine & dubbi teorici.
Salve ragazzi, ammetto che appena oggi ho iniziato a cimentarmi in questa tipologia di esercizi , ho il seguente :
Esercizio 1 :
Sia $A_2$ un piano affine reale.
Determinare una retta $r$ di $A_2$ tale che , assegnati $P= \alpha nn \beta$ , $Q= \lambda nn delta$ dove
$\alpha : x + 5y -8=0$ (1)
$\beta : 3x+6=0$ (2)
$\lambda : 5x - y/2=1$
$\delta : x-y=5$ , $r$ contenga $P$ e $Q$.
Da quel che ho capito, devo determinare la retta passante per i punti $P$ e $Q$.
Fissiamo $R$ un riferimento affine su $A_2$ e determino le coordinate affini dei punti $P$ e $Q$.
$P(x_1, y_1)$
$Q(x_2,y_2)$
Ora $P \in \alpha nn \beta$ se e solo se le coordinate di $P$ soddisfano (1) e (2).
Risolvendo il sistema
$ x_1 + 5y_1 -8=0$
$ 3x_1+6=0$
Trovo che $P(-2,2)$ , analogamente
trovo che $Q(-1/2,-11/2)$.
Pertanto la retta passante per $P$ e $Q$ ha equazione cartesiana
$[P,Q] : (x+2)/(-1/2+2)=(y-2)/(-11/2-2)$ cioè
$5x+y+8=0$.
Vi pare giusto concettualmente? (salvo errori di calcolo..)
Esercizio 1 :
Sia $A_2$ un piano affine reale.
Determinare una retta $r$ di $A_2$ tale che , assegnati $P= \alpha nn \beta$ , $Q= \lambda nn delta$ dove
$\alpha : x + 5y -8=0$ (1)
$\beta : 3x+6=0$ (2)
$\lambda : 5x - y/2=1$
$\delta : x-y=5$ , $r$ contenga $P$ e $Q$.
Da quel che ho capito, devo determinare la retta passante per i punti $P$ e $Q$.
Fissiamo $R$ un riferimento affine su $A_2$ e determino le coordinate affini dei punti $P$ e $Q$.
$P(x_1, y_1)$
$Q(x_2,y_2)$
Ora $P \in \alpha nn \beta$ se e solo se le coordinate di $P$ soddisfano (1) e (2).
Risolvendo il sistema
$ x_1 + 5y_1 -8=0$
$ 3x_1+6=0$
Trovo che $P(-2,2)$ , analogamente
trovo che $Q(-1/2,-11/2)$.
Pertanto la retta passante per $P$ e $Q$ ha equazione cartesiana
$[P,Q] : (x+2)/(-1/2+2)=(y-2)/(-11/2-2)$ cioè
$5x+y+8=0$.
Vi pare giusto concettualmente? (salvo errori di calcolo..)
Risposte
Si direi proprio di sì 
thanks
Salve ragazzi , ho da mostrare questo piccolo teoremino :
Sia $A_3(V, \mathbb{R}, \phi)$ uno spazio affine reale.
Sia $rsube A_3$ e $P \in A_3$. ($r $ una retta e $P$ un punto).
Allora esiste ed è unico il piano $\pi$ tale che $r sube \pi$ e si ha che $P \in \pi$
Circa l'esistenza, non ho problemi. Infatti posso pensare $r$ come retta passante per due punti $A,B$.
E poiché so che $A,B$ sono affinemente indipendenti e $P$ non sta in $r$ , mi risulta che $A,B,P$ sono affinemente indipendenti e quindi posso prendere $\pi$ il piano passante per i tre punti $A,B,P$ cioè
$\pi ~ ( A , $[tex]\bar{AB} , \bar{AP} )[/tex] .
Circa l'unicità , ho qualche dubbio.
Suppongo che esiste $\pi ' $ tale che soddisfa le condizioni richieste e voglio provare che $\pi= \pi'$.
Ora , posso pensare $r$ sempre come $r = [A, B}$ , poiché deve accadere che $r sube \pi'$ si deve avere che la giacitura di $r$ deve esser contenuta in quella di $\pi ' $ e i punti $A,B \in \pi ' $ (che sono $A!=B$) e inoltre $P \in \pi'$ quindi $\pi'$ deve passare per i tre punti supra citati e quindi $\pi ' = \pi$.
Dove sbaglio? Grazie mille.
Sia $A_3(V, \mathbb{R}, \phi)$ uno spazio affine reale.
Sia $rsube A_3$ e $P \in A_3$. ($r $ una retta e $P$ un punto).
Allora esiste ed è unico il piano $\pi$ tale che $r sube \pi$ e si ha che $P \in \pi$
Circa l'esistenza, non ho problemi. Infatti posso pensare $r$ come retta passante per due punti $A,B$.
E poiché so che $A,B$ sono affinemente indipendenti e $P$ non sta in $r$ , mi risulta che $A,B,P$ sono affinemente indipendenti e quindi posso prendere $\pi$ il piano passante per i tre punti $A,B,P$ cioè
$\pi ~ ( A , $[tex]\bar{AB} , \bar{AP} )[/tex] .
Circa l'unicità , ho qualche dubbio.
Suppongo che esiste $\pi ' $ tale che soddisfa le condizioni richieste e voglio provare che $\pi= \pi'$.
Ora , posso pensare $r$ sempre come $r = [A, B}$ , poiché deve accadere che $r sube \pi'$ si deve avere che la giacitura di $r$ deve esser contenuta in quella di $\pi ' $ e i punti $A,B \in \pi ' $ (che sono $A!=B$) e inoltre $P \in \pi'$ quindi $\pi'$ deve passare per i tre punti supra citati e quindi $\pi ' = \pi$.
Dove sbaglio? Grazie mille.
Se ti dico che esiste un'unica distanza del punto P dalla retta, ci credi o meno?
suppongo di si Maci, forse è la stanchezza, ma non riesco a seguirti del tutto.
Allora non sbagli, il piano è quello su cui giace la distanza minore e quindi è unico
grazie maci
Altro esercizietto banale :
Siano $A(2,3) , B(-3,-2)$ due punti del piano metrico. Scrivere l'equazione dell'asse del segmento $AB$.
Innanzi tutto mi trovo le coordinate del punto medio, ho dunque che $M(-1/2, 1/2)$
inoltre posto $r=[A,B]$ ho che $r$ ha equazione cartesiana : $x-y+1=0$, considero ora il fascio di rette ci centro $M$
$F : x+ky +1/2 -k/2 =0$. Voglio quella perpendicolare ad $r$ quindi impongo che $1*1 + (-1)*k =0 => k=1$
pertanto $r' : x+y=0$ è la retta richiesta.
Vi pare giusto?
Siano $A(2,3) , B(-3,-2)$ due punti del piano metrico. Scrivere l'equazione dell'asse del segmento $AB$.
Innanzi tutto mi trovo le coordinate del punto medio, ho dunque che $M(-1/2, 1/2)$
inoltre posto $r=[A,B]$ ho che $r$ ha equazione cartesiana : $x-y+1=0$, considero ora il fascio di rette ci centro $M$
$F : x+ky +1/2 -k/2 =0$. Voglio quella perpendicolare ad $r$ quindi impongo che $1*1 + (-1)*k =0 => k=1$
pertanto $r' : x+y=0$ è la retta richiesta.
Vi pare giusto?
Sì, io farei così:
$x-y+1=0$
Questo implica che la retta ortogonale sia:
$x+y=d$
Sostituendo il punto:
$x+y=0$
$x-y+1=0$
Questo implica che la retta ortogonale sia:
$x+y=d$
Sostituendo il punto:
$x+y=0$
thanks maci
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