[EX]eq. cartesiana di un cono
io ho questa equazione parametrica che rappresenta il moto di un corpo nello spazio. ma questo poco importa
$\{(x=\alpha t^2 +\beta t + \gamma),(y= 2 \alpha t^2 -\beta t + \gamma),(z = -\alpha t^2 + 2 \beta t + \gamma):}$
l'esercizio mi chiede di mostrare che questo punto si muove sia su un piano che su un cono che a vertice l'orgine, e di trovare le eq cartesiane di entrambi...
per il piano è facile, basta fare x-y-z e si trova $x-y-x+\gamma = 0$
per il conto...siccome ha per vertice l'origine, la sua equazione cartesiana deve essere una eq omogena di secondo grado, in cui compaiono cioè $x^2, xy, yz$ ecc... = 0...solo che, come è che la devo trovare, a caso? o.O facendo tentativi di combinazioni lineari di tutti i termini di secondo grado possibili? spero di no
...se può essere di aiuto in un punto precedente di questo esercizio, mi chiede di mostrare che il vettore accelerazione del punto è sempre parallelo a un versore, e mi dice ti trovare tale versore...dire che questo versore rappresenta la direzione dell'asse del cono mi pare troppo azzardato però....
$\{(x=\alpha t^2 +\beta t + \gamma),(y= 2 \alpha t^2 -\beta t + \gamma),(z = -\alpha t^2 + 2 \beta t + \gamma):}$
l'esercizio mi chiede di mostrare che questo punto si muove sia su un piano che su un cono che a vertice l'orgine, e di trovare le eq cartesiane di entrambi...
per il piano è facile, basta fare x-y-z e si trova $x-y-x+\gamma = 0$
per il conto...siccome ha per vertice l'origine, la sua equazione cartesiana deve essere una eq omogena di secondo grado, in cui compaiono cioè $x^2, xy, yz$ ecc... = 0...solo che, come è che la devo trovare, a caso? o.O facendo tentativi di combinazioni lineari di tutti i termini di secondo grado possibili? spero di no
...se può essere di aiuto in un punto precedente di questo esercizio, mi chiede di mostrare che il vettore accelerazione del punto è sempre parallelo a un versore, e mi dice ti trovare tale versore...dire che questo versore rappresenta la direzione dell'asse del cono mi pare troppo azzardato però....
Risposte
ok, forse ora sono andato un po più avanti con l'esercizio...
ho notato che (l'ho visto da come ho ricavato il piano) il prodotto vettoriale tra $(x,y,z,)$ e il vettore $(1,-1,-1)$ è una costante.
questo vuol dire che la direzione dell'asse è $(1, -1, -1)$...o sbaglio?
se così fosse pensavo di procedere in questo modo. mettendo un valore al parametro t, mi trovo un punto. siccome questo punto deve appartenere al cono, se faccio la retta passante per V e per quel punto ottengo una generatrice.
con una generatrice e l'asse si dovrebbe ottenere l'equazione del cono, facendo ruotare quest'ultima.
solo che non so come si faccia...qualcuno mi può dare una mano??
ho notato che (l'ho visto da come ho ricavato il piano) il prodotto vettoriale tra $(x,y,z,)$ e il vettore $(1,-1,-1)$ è una costante.
questo vuol dire che la direzione dell'asse è $(1, -1, -1)$...o sbaglio?
se così fosse pensavo di procedere in questo modo. mettendo un valore al parametro t, mi trovo un punto. siccome questo punto deve appartenere al cono, se faccio la retta passante per V e per quel punto ottengo una generatrice.
con una generatrice e l'asse si dovrebbe ottenere l'equazione del cono, facendo ruotare quest'ultima.
solo che non so come si faccia...qualcuno mi può dare una mano??
no è una cazzata quella che ho detto...come può essere l'asse del cono, se è la giacitura del piano...allora niente da fare 
Prova così:
$[t=(x+z-2gamma)/(3beta)] rarr [y=2alpha(x+z-2gamma)^2/(9beta^2)-beta(x+z-2gamma)/(3beta)+gamma]$
In ogni modo, se anche si trattasse di un cono, non passerebbe per l'origine.
$[t=(x+z-2gamma)/(3beta)] rarr [y=2alpha(x+z-2gamma)^2/(9beta^2)-beta(x+z-2gamma)/(3beta)+gamma]$
In ogni modo, se anche si trattasse di un cono, non passerebbe per l'origine.
A me sembra che la consegna non sia stata riportata in modo esatto e completo. Prova a postare l'originale...
si forse hai ragione. è che volevo evitare la parte più propria della fisica. ora la metto tutta
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, un punto P si muove con la seguente legge oraria:
$\{(x=\alpha t^2 +\beta t + \gamma),(y= 2 \alpha t^2 -\beta t + \gamma),(z = -\alpha t^2 + 2 \beta t + \gamma):}$
a) Sapendo che x, y, z rappresentano lunghezze e t il tempo, determinare [α], [β] e [γ].
b) Mostrare che esiste $\hat u$ tale che $AP || \hat u$, e determinare tale versore.
c) Mostrare che il moto avviene su un piano π e su un cono C avente vertice nell’origine; determinare le equazioni
cartesiane di π e di C
la a è da lasciar perdere, in quanto chiede solo le dimensioni di quei coefficienti
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, un punto P si muove con la seguente legge oraria:
$\{(x=\alpha t^2 +\beta t + \gamma),(y= 2 \alpha t^2 -\beta t + \gamma),(z = -\alpha t^2 + 2 \beta t + \gamma):}$
a) Sapendo che x, y, z rappresentano lunghezze e t il tempo, determinare [α], [β] e [γ].
b) Mostrare che esiste $\hat u$ tale che $AP || \hat u$, e determinare tale versore.
c) Mostrare che il moto avviene su un piano π e su un cono C avente vertice nell’origine; determinare le equazioni
cartesiane di π e di C
la a è da lasciar perdere, in quanto chiede solo le dimensioni di quei coefficienti
...anche se questo esercizio di fisica ha veramente veramente poco...
un altra cosa che mi era venuta in mente, del quale volevo chiedere un parere
mi è balenato per la testa un ricordo di quando trattavo i coni al corso di geometria...
sbaglio o un cono si può trovare con una combinazione lineare di una sfera e un piano??
come sfera si potrebbe prendere $x^2 + y^2 + z^2 = 0$ e il piano, quello che ho trovato precedentemente
quello che si ottiene è quindi una cosa del tipo $x^2 + y^2 + z^2 + \lambda(x - y -z + \gamma)=0$ e farlo passate per uno dei punti che si trovano mettendo a t un valore, così da trovare il $lambda$ giusto...
è che non mi ricordo nulla dei coni...
un altra cosa che mi era venuta in mente, del quale volevo chiedere un parere
mi è balenato per la testa un ricordo di quando trattavo i coni al corso di geometria...
sbaglio o un cono si può trovare con una combinazione lineare di una sfera e un piano??
come sfera si potrebbe prendere $x^2 + y^2 + z^2 = 0$ e il piano, quello che ho trovato precedentemente
quello che si ottiene è quindi una cosa del tipo $x^2 + y^2 + z^2 + \lambda(x - y -z + \gamma)=0$ e farlo passate per uno dei punti che si trovano mettendo a t un valore, così da trovare il $lambda$ giusto...
è che non mi ricordo nulla dei coni...
se così fosse troverei, scegliendo il punto che si ha per $t=1$ (con t=0 non torna 
)
$6\alpha^2+6\beta^2+3\gamma^2-4\alpha\beta+4\beta\gamma + \lambda(2\gamma)=0$
e così mi troverei un parametro assurdo...sempre che quello che trovo sia un cono
)$6\alpha^2+6\beta^2+3\gamma^2-4\alpha\beta+4\beta\gamma + \lambda(2\gamma)=0$
e così mi troverei un parametro assurdo...sempre che quello che trovo sia un cono
"eugeniobene58":
b) Mostrare che esiste $\hat u$ tale che $AP || \hat u$, e determinare tale versore.
Peccato che non si sappia quale sia il punto $[A]$.
ops... $a_P$...l'accelerazione di P
Le seguenti equazioni parametriche:
$\{(x=\alphat^2+\betat+\gamma),(y=2\alphat^2-\betat+\gamma),(z=-\alphat^2+2\betat+\gamma):}$
rappresentano il moto di un punto con accelerazione costante:
$\{(v_x=2alphat+beta),(v_y=4alphat-beta),(v_z=-2alphat+2beta):} ^^ \{(a_x=2alpha),(a_y=4alpha),(a_z=-2alpha):}$
Avendo queste caratteristiche, si può dimostrare che il moto è parabolico, in un piano individuato dalla velocità iniziale e dall'accelerazione medesima, aventi origine entrambi nella posizione iniziale (basti pensare al moto dei gravi):
$\{(x_0=gamma),(y_0=gamma),(z_0=gamma):} ^^ \{(v_(0x)=beta),(v_(0y)=-beta),(v_(0z)=2beta):} ^^ \{(a_x=2alpha),(a_y=4alpha),(a_z=-2alpha):}$
Per individuare il piano, dopo averne determinato la direzione normale:
$vecn(1,-1,-1)$
è sufficiente imporre la seguente condizione:
$1*(x-gamma)-1*(y-gamma)-1*(z-gamma)=0 rarr [x-y-z+gamma=0]$
ottenendo così, per altra via, il medesimo risultato al quale eri già pervenuto. Ora, considerando che una parabola è una conica, è evidente che si possa ottenere come intersezione tra un piano e un cono opportunamente disposti. Vedi un po' se riesci a concludere.
$\{(x=\alphat^2+\betat+\gamma),(y=2\alphat^2-\betat+\gamma),(z=-\alphat^2+2\betat+\gamma):}$
rappresentano il moto di un punto con accelerazione costante:
$\{(v_x=2alphat+beta),(v_y=4alphat-beta),(v_z=-2alphat+2beta):} ^^ \{(a_x=2alpha),(a_y=4alpha),(a_z=-2alpha):}$
Avendo queste caratteristiche, si può dimostrare che il moto è parabolico, in un piano individuato dalla velocità iniziale e dall'accelerazione medesima, aventi origine entrambi nella posizione iniziale (basti pensare al moto dei gravi):
$\{(x_0=gamma),(y_0=gamma),(z_0=gamma):} ^^ \{(v_(0x)=beta),(v_(0y)=-beta),(v_(0z)=2beta):} ^^ \{(a_x=2alpha),(a_y=4alpha),(a_z=-2alpha):}$
Per individuare il piano, dopo averne determinato la direzione normale:
$vecn(1,-1,-1)$
è sufficiente imporre la seguente condizione:
$1*(x-gamma)-1*(y-gamma)-1*(z-gamma)=0 rarr [x-y-z+gamma=0]$
ottenendo così, per altra via, il medesimo risultato al quale eri già pervenuto. Ora, considerando che una parabola è una conica, è evidente che si possa ottenere come intersezione tra un piano e un cono opportunamente disposti. Vedi un po' se riesci a concludere.
mettendola così, mi verrebbe da dire che il piano su cui avviene il moto, siccome stacca dal cono una parabola, è parallelo al suo asse.
inoltre, pensando alla caduta di un grave, che questo asse del cono, sia parallelo al versore $\hat u$ che ci ha fatto trovare il prof.. così facendo dovrei essere in grado di trovarlo questo asse. ho una direzione e un punto per cui passa
inoltre, pensando alla caduta di un grave, che questo asse del cono, sia parallelo al versore $\hat u$ che ci ha fatto trovare il prof.. così facendo dovrei essere in grado di trovarlo questo asse. ho una direzione e un punto per cui passa
Sono d'accordo. Tuttavia, ti consiglio di procedere per via più analitica che geometrica:
La direttrice è proprio la traiettoria assegnanta. Tra l'altro, se mi fossi ricordato da subito, sarebbe stato possibile concludere senza nemmeno scomodare l'aspetto più fisico del problema.
La direttrice è proprio la traiettoria assegnanta. Tra l'altro, se mi fossi ricordato da subito, sarebbe stato possibile concludere senza nemmeno scomodare l'aspetto più fisico del problema.
mannaggia non ci avevo proprio pensato a usare traiettoria come direttrice...infatti lo avevo messo in questa sezione perchè di fisico, questo problema, ha veramente poco
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