Exe su applicazione lineare

[trapaco]

Ciao a tutti,

avrei un esercizio da proporvi:

[size=150]Traccia:[/size]
Siano f : $RR^3$ ->$RR^3$^3 e g : $RR^3$ ->$RR^3$ le applicazioni lineari definite da :
$f(x,y,z) = (2z,-y-z,x+y+z)$
e
$g((1,0,0)) = (0,0,1)$
$g((1,1,0)) = (1,2,1)$
$g((1,1,1)) = (2,2,2)$

$(1)$ Verificare che l'applicazione $g$ e' univocamente definita;
$(2)$ Scrivere la matrice di $g$ rispetto alla base canonica;
$(3)$ Scrivere la matrice di $g \circ f$ rispetto alla base canonica.
$(4)$ Dire se $g \circ f$ e' invertibile e, in caso affermativo, scrivere la matrice $(g \circ f)^(-1)$ rispetto alla base canonica.


[size=150]Soluzione:[/size]

Io ho pensato di risolvere questo exe in questo modo:

per il punto $(1)$ dico che: un'applicazione lineare e' univocamente determinata quando si conoscono le immagini degli elementi di una base del dominio, quindi dato che conosciamo le basi e le immagini di $g$ allora l'applicazione e' univocamente definita. [size=150]E' CORRETTO??[/size]

per il punto $(2)$ la matrice che ho scritto io e': $((0,0,1),(1,2,1),(2,2,2))$, ma non so se e' correto
[size=150]potete darmi una dritta ed eventualmente correggere?[/size]

Per il resto dell'esercizio..se sbaglio il punto $2$ si sbaglia tutto il resto... help me...please


GRAZIE A TUTTI.

ciaooo

[ciampax]

A parte la prima, che sinceramente non ho ben capito cosa voglia sapere, nella seconda ti viene chiesto di scrivere la matrice relativa alla base canonica di $RR^3$, cioè questa $\{(1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1)\}=\{e_i\}$. Quello che devi fare è, a partire dalle definizioni che conosci, ricavare le seguenti espressioni $g(e_i)=\sum_{j=1}^3 a_{ij} e_j$ e in particolare le costanti $a_{ij}$ che sono le componenti di tale matrice. Tu hai scritto la matrice di $g$ che ha come base di partenza la seguente $\{(1,0,0),\ (1,1,0),\ (1,1,1)\}$ e come base di arrivo quella canonica. Quindi cosa puoi fare?

[trapaco]

Grazie mille per la tua risposta

Hai ragione ho scritto la matrice in base alla base data nella traccia, invece la devo scrivere in base alla "base canonica"

Dobbiamo costruire le immagini dei vettori della base canonica $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$

Per farlo faccio:

Dalla traccia abbiamo

$g((1,0,0)) = (0,0,1)$
$g((1,1,0)) = (1,2,1)$
$g((1,1,1)) = (2,2,2)$

Quindi le immagini dei vettori in base alla base canonica saranno:

$g((1,0,0)) = (0,0,1)$
$g((0,1,0)) = g((1,1,0)-(1,0,0)) = ((1,2,1) - (0,0,1)) = (1,2,0)$
$g((0,0,1)) = g((1,1,1)-(1,1,0)) = ((2,2,2) - (1,2,1)) = (1,0,1)$

Quindi la matrice associata alla base canonica sara:

$A=((0,1,1),(0,2,0),(1,0,1))$


[size=150]Ora e' corretta la matrice?[/size]

[size=150]GRAZIE MILLE[/size] per l'aiuto

Ciaoooo

[trapaco]

Up

nessuno mi puo aiutare???