[EX] vettori indip, base, sottospazio generato

[smaug1]

1.

In $V = R^3$ stabilire se i due vettori $v_1 = ((1),(0),(3))$ ed $v_2 = ((-1),(0),(-3))$ sono linearmente indipendenti e se lo sono, completarli ad una base di $V$

$k_1 \v_1 + k_2 \v_2 = 0 <=> k_1 = k_2$ quindi non c'è solo la soluzione banale, ma infinite, ergo i vettori sono dipendenti. Se volessi vederlo con il rango? $((1,-1),(0,0),(3,-3)) -> rg ((1,-1),(0,0),(0,0)) = 1$ Siccome il rango è minore del numero di incognite, ovvero del numero di vettori, essi sono dipendenti. Se fosse stato rango uguale a 2 allora sarebbero stati indipendenti?

Completare un vettore cosa vuol dire? Siccome sono dipendenti, e per la base me ne servono 3 indipendenti, scelgo un vettore colonna tra i due di partenza, al quale aggiungo 2 vettori colonna tra loro indipendenti, e indipendenti anche con $v_1$ o con $v_2$ (in base alla mia scelta) Come faccio a scegliere questi vettori colonna? So che la matrice associata deve avere rango 3, no?

Grazie mille

[_prime_number]

Se il rango fosse stato $2$, ovvero pari al numero di vettori, allora sì, sarebbero stati indipendenti.
Per completare a base puoi usare http://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process

Paola

[Sk_Anonymous]

"prime_number":Se il rango fosse stato $2$, ovvero pari al numero di vettori, allora sì, sarebbero stati indipendenti.
Per completare a base puoi usare http://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process

Paola

Ciao Paolo, scusa se mi permetto di contraddirti, ma con il procedimento di Gram-Schmidt non otteniamo una base ortonormale? Secondo me la risposta al quesito è più semplice: i due vettori non sono linearmente indipendenti; bene, ne scelgo uno dei due e lo ficco nella base canonica al posto di \(\displaystyle e_{i} \), \(\displaystyle i=1,2,3 \) in modo tale che i tre vettori finali siano indipendenti.

O dico male?

[Tonino931]

Dalla traccia dell'esercizio noto che devi completare la base soltanto nel caso in cui i vettori siano indipendenti. I due vettori però sono dipendenti (e lo si vede chiaramente ad occhio che sono proporzionali). Quindi non devi completare nessuna base.

In generale, un metodo molto semplice per completare una base è costruire con il/i vettore/i di partenza e quelli che aggiungi una matrice a gradini, perchè le righe di una matrice in forma a gradini sono indipendenti. Quindi basta aggiungere uno zero in più ad ogni nuovo vettore.

[smaug1]

"Tonino93":Dalla traccia dell'esercizio noto che devi completare la base soltanto nel caso in cui i vettori siano indipendenti. I due vettori però sono dipendenti (e lo si vede chiaramente ad occhio che sono proporzionali). Quindi non devi completare nessuna base.

In generale, un metodo molto semplice per completare una base è costruire con il/i vettore/i di partenza e quelli che aggiungi una matrice a gradini, perchè le righe di una matrice in forma a gradini sono indipendenti. Quindi basta aggiungere uno zero in più ad ogni nuovo vettore.

L'ho chiesto durante il tutoraggio di geometria e mi ha risposto scrivendo:

$rg ((1,0,1),(0,1,0),(0,0,3)) = 3$ dove le prime due colonne sono vettori $w_1,w_2$ e l'ultima è $v_1$

Come mai?

[_prime_number]

@Delirium: non dici male, volevo solo dare una risposta che valesse in ogni caso e che fosse metodica.
... anche perché altrimenti la risposta è "procedi secondo buon senso". Infatti la soluzione che hanno mostrato a smag durante il tutoraggio è una soluzione a cui si arriva a buon senso. La risposta dunque è appunto "prendi dei vettori della base canonica adatti", ovvero in modo che quel rango venga $3$. E' un po' una risposta che lascia il tempo che trova secondo me, almeno per una persona che ha appena iniziato questo tipo di esercizi... Personalmente non trovo parole per spiegare questo procedimento, sicuramente più pratico ma meno metodico.

Paola

[dissonance]

La tecnica metodica per generalizzare il procedimento del tutor si chiama algoritmo degli scarti successivi.

post290352.html#p290352

[Sk_Anonymous]

"prime_number":@Delirium: non dici male, volevo solo dare una risposta che valesse in ogni caso e che fosse metodica.
... anche perché altrimenti la risposta è "procedi secondo buon senso". Infatti la soluzione che hanno mostrato a smag durante il tutoraggio è una soluzione a cui si arriva a buon senso. La risposta dunque è appunto "prendi dei vettori della base canonica adatti", ovvero in modo che quel rango venga $3$. E' un po' una risposta che lascia il tempo che trova secondo me, almeno per una persona che ha appena iniziato questo tipo di esercizi... Personalmente non trovo parole per spiegare questo procedimento, sicuramente più pratico ma meno metodico.

Paola

Credo che questa "divergenza d'opinione" sia dettata principalmente dalla maniera in cui mi è stata insegnata l'algebra lineare sin d'ora. Il fatto è che questa questione sul completamento di una base mi è stata presentata sin dall'inizio del corso e il metodo per appunto completare era ed è sempre stato quello che chiami "buon senso", e che di tanto in tanto appello con "occhio". Sono invece venuto a conoscenza del procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schimdt soltanto da poco, e nell'ambito della geometria affine.

[smaug1]

Ad esempio:

Verificare che i vettori $\bb v, \bb w$ sono linearmente indipendenti e completarli ad una base di $\bb R^3$

$\bb v = ((-3),(1),(2)) $ e $\bb w = ((1),(5),(-1))$

Riducendo la matrice associata a scalini ho trovato che $((-3,1),(0,16))$ quindi essendo il rango massimo sono linearmente indipendenti. Siccome siamo in $\bb R^3$ sono necessari 3 vettori linearmente indipendenti, affinchè si possa formare una base di $\bb R^3$?

Quindi dalla matrice $((-3,1),(0,16))$ devo mettere un altro vettore colonna, tale che il rango sia 3? e così ho trovato la base?

$((-3,1,0),(0,16,0),(0,0,1))$ va bene il vettore $u = ((0),(0),(1))$?

Grazie mille