[EX] Un classico
Dimostrare che $S^1$ non si immerge in $RR$.
Bonus: dimostrare che in realtà per ogni funzione continua $f:S^1->RR$ esiste $x\inS^1$ tale che $f(x)=f(-x)$.
Se ci si vuole spingere molto più in là, dimostrare il bonus per funzioni continue $f:S^2->RR^2$ (è difficile).
[ot]Il bonus vale in realtà per ogni $n$ ed è noto come teorema di Borsuk-Ulam, la cui dimostrazione generale è abbastanza al di là di quello che uno può fare con le conoscenze offerte da un normale corso di topologia. Questo teorema ha delle conseguenze notevoli come che $S^n$ non si immerge in $RR^n$, oppure la cosa che si sente a volte che sulla superficie della terra ci sono sempre due punti opposti in cui c'è esattamente la stessa temperatura e pressione atmosferica ($n=2$).[/ot]
Bonus: dimostrare che in realtà per ogni funzione continua $f:S^1->RR$ esiste $x\inS^1$ tale che $f(x)=f(-x)$.
Se ci si vuole spingere molto più in là, dimostrare il bonus per funzioni continue $f:S^2->RR^2$ (è difficile).
[ot]Il bonus vale in realtà per ogni $n$ ed è noto come teorema di Borsuk-Ulam, la cui dimostrazione generale è abbastanza al di là di quello che uno può fare con le conoscenze offerte da un normale corso di topologia. Questo teorema ha delle conseguenze notevoli come che $S^n$ non si immerge in $RR^n$, oppure la cosa che si sente a volte che sulla superficie della terra ci sono sempre due punti opposti in cui c'è esattamente la stessa temperatura e pressione atmosferica ($n=2$).[/ot]
Risposte
Buon anno.
Come in geometria differenziale, anche qui in topologia bisognerebbe specificare il significato di immersione... 
Io gli ho dato il seguente significato:
Io gli ho dato il seguente significato:
Una funzione \(\displaystyle i:X\to Y\) di spazi topologici è un'immersione se essa è iniettiva e \(\displaystyle X\) è omeomorfo a \(\displaystyle i(X)\).
@arnett Nella definizione usata da solaàl si parla di retratti... ignoro se le nostre definizioni sono equivalenti!
@ j18eos: Praticamente è lo stesso argomento che avrei usato io. 
No \(r\) deve essere continua su tutto \(\mathbb R\); solo, deve essere l'identità su \(i(S^1)\). Un modo alternativo è usare la connessione di \(S^1\), certo.
Faccio un po' di ordine, i seguenti insiemi saranno spazi topologici, con topologia omessa nelle notazioni:
[list=a]
[*:1pf731is]se esiste una funzione continua e iniettiva \(\displaystyle i:X\hookrightarrow Y\) tale che ammetta una retrazione \(\displaystyle r:Y\to X\), ovvero una funzione continua tale che \(\displaystyle r\circ i=id_X\), implica che \(\displaystyle i\) è un omeomorfismo sull'immagine.[/*:m:1pf731is]
[*:1pf731is]se esiste una funzione continua e iniettiva \(\displaystyle i:X\hookrightarrow Y\) tale che induce un omeomorfismo sull'immagine, si può considerare comunque una funzione (suriettiva) \(\displaystyle r:Y\to X\) tale che \(\displaystyle r\circ i=id_X\); ma ciò non implica che \(\displaystyle r\) sia continua.[/*:m:1pf731is][/list:o:1pf731is]
Esempio. Considerate le topologie naturali, \(\displaystyle i:x\in\mathbb{R}\hookrightarrow(x,0)\in\mathbb{R}^2\) è un'immersione secondo la seconda definizione; ma \(\displaystyle r:(x,y)\in\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\ni\begin{cases}
1\iff y>0\\
x\iff y=0\\
-1\iff y<0
\end{cases}\) non è una funzione continua: l'anti-immagine dell'insieme chiuso \(\displaystyle\{-1,1\}\) è l'insieme aperto \(\displaystyle\mathbb{R}^2\setminus\{y=0\}\).
La domanda è, assunta l'esistenza di una funzione continua e iniettiva \(\displaystyle i:X\hookrightarrow Y\) tale che essa induca un omeomorfismo sull'immagine: esiste una funzione (suriettiva) continua \(\displaystyle r:Y\to X\) tale che \(\displaystyle r\circ i=id_X\)?
[list=a]
[*:1pf731is]se esiste una funzione continua e iniettiva \(\displaystyle i:X\hookrightarrow Y\) tale che ammetta una retrazione \(\displaystyle r:Y\to X\), ovvero una funzione continua tale che \(\displaystyle r\circ i=id_X\), implica che \(\displaystyle i\) è un omeomorfismo sull'immagine.[/*:m:1pf731is]
[*:1pf731is]se esiste una funzione continua e iniettiva \(\displaystyle i:X\hookrightarrow Y\) tale che induce un omeomorfismo sull'immagine, si può considerare comunque una funzione (suriettiva) \(\displaystyle r:Y\to X\) tale che \(\displaystyle r\circ i=id_X\); ma ciò non implica che \(\displaystyle r\) sia continua.[/*:m:1pf731is][/list:o:1pf731is]
Esempio. Considerate le topologie naturali, \(\displaystyle i:x\in\mathbb{R}\hookrightarrow(x,0)\in\mathbb{R}^2\) è un'immersione secondo la seconda definizione; ma \(\displaystyle r:(x,y)\in\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\ni\begin{cases}
1\iff y>0\\
x\iff y=0\\
-1\iff y<0
\end{cases}\) non è una funzione continua: l'anti-immagine dell'insieme chiuso \(\displaystyle\{-1,1\}\) è l'insieme aperto \(\displaystyle\mathbb{R}^2\setminus\{y=0\}\).
La domanda è, assunta l'esistenza di una funzione continua e iniettiva \(\displaystyle i:X\hookrightarrow Y\) tale che essa induca un omeomorfismo sull'immagine: esiste una funzione (suriettiva) continua \(\displaystyle r:Y\to X\) tale che \(\displaystyle r\circ i=id_X\)?
$ \emptyset \to {\emptyset}$
"j18eos":Risposta: non sempre!
[...] La domanda è, assunta l'esistenza di una funzione continua e iniettiva \( \displaystyle i:X\hookrightarrow Y \) tale che essa induca un omeomorfismo sull'immagine: esiste una funzione (suriettiva) continua \( \displaystyle r:Y\to X \) tale che \( \displaystyle r\circ i=id_X \)?
Esempio: L'inclusione di \(\displaystyle\mathbb{S}^n\) (\(\displaystyle n\)-sfera) in \(\displaystyle\mathbb{D}^n\) (\(\displaystyle n\)-disco chiuso), entrambi con la usuale topologia naturale, è una funzione (iniettiva) continua, che induce un omeomorfismo sull'immagine; ma non esiste alcun retratto (continuo) di \(\displaystyle\mathbb{D}^n\) su \(\displaystyle\mathbb{S}^n\).
Quindi le precedenti definizioni non sono equivalenti.
"otta96":
Bonus: dimostrare che in realtà per ogni funzione continua $f:S^1->RR$ esiste $x\inS^1$ tale che $f(x)=f(-x)$.
Una dimostrazione elementare di ciò:
Scusatemi se non vi ho risposto fin'ora ma in questi giorni non sono entrato nel forum se non per leggere velocemente qualcosa, ma ora rispondo a tutti, uno per volta.
Prima di tutto mi scuso per non aver specificato quale nozione di immersione intendessi, pensavo fosse ovvio.
Ma no, quando mai qualcuno con si immerge dovrebbe intendere è un retratto, non ha nemmeno senso perché ciò che può essere un retratto è un sottoinsieme, non un altro spazio topologico a caso. Comunque dico che $X$ si immerge in $Y$ se esiste una funzione da $X$ a $Y$ che sia un omeomorfismo con l'immagine.
Non ho capito cosa dovrebbe essere $i$.
Buon anno a voi
Già
Forse volevi scrivere che $i$ è un omeomorfismo con l'immagine, è leggermente diverso. In tal caso avevi capito bene.
È la dimostrazione che ho in mente anche io
Io sapevo che il teorema di Borsuk-Ulam fosse la $2)$, e tra l'altro Wikipedia dice la stessa cosa. Comunque la $3)$ è sbagliata, forse intendevi qualcos'altro.
Alcuni con immersione intendono una mappa continua e iniettiva, quello lo chiamano embedding.
Secondo me la sua definizione non ha senso.
Chiaramente no, basta prendere $X=S^1, Y=RR^2$.
???
Una dimostrazione elementare di ciò:
Anche questa è la dimostrazione che avevo in mente
Prima di tutto mi scuso per non aver specificato quale nozione di immersione intendessi, pensavo fosse ovvio.
"solaàl":
Penso che con "si immerge" tu intenda quello che solitamente si intende con "è un retratto",
Ma no, quando mai qualcuno con si immerge dovrebbe intendere è un retratto, non ha nemmeno senso perché ciò che può essere un retratto è un sottoinsieme, non un altro spazio topologico a caso. Comunque dico che $X$ si immerge in $Y$ se esiste una funzione da $X$ a $Y$ che sia un omeomorfismo con l'immagine.
Non ho capito cosa dovrebbe essere $i$.
Buon anno.
Buon anno a voi
"j18eos":
Come in geometria differenziale, anche qui in topologia bisognerebbe specificare il significato di immersione...
Già
Io gli ho dato il seguente significato:[/quote]
[quote]Una funzione \(\displaystyle i:X\to Y\) di spazi topologici è un'immersione se essa è iniettiva e \(\displaystyle X\) è omeomorfo a \(\displaystyle i(X)\).
Forse volevi scrivere che $i$ è un omeomorfismo con l'immagine, è leggermente diverso. In tal caso avevi capito bene.
È la dimostrazione che ho in mente anche io
"arnett":
Il teorema di Borsuk-Ulam è la (1), una volta che si dimostra quello sono vere anche la (2) e la (3). Dalla (2) si vede in particolare l'impossibilità di immergere (topologicamente) $ \mathbb{S}^n $ in $ \RR^n $.
Io sapevo che il teorema di Borsuk-Ulam fosse la $2)$, e tra l'altro Wikipedia dice la stessa cosa. Comunque la $3)$ è sbagliata, forse intendevi qualcos'altro.
@j18eos topologicamente parlando conosco un solo concetto di immersione, cos'altro ha in mente te?
Alcuni con immersione intendono una mappa continua e iniettiva, quello lo chiamano embedding.
"j18eos":
@arnett Nella definizione usata da solaàl si parla di retratti... ignoro se le nostre definizioni sono equivalenti!
Secondo me la sua definizione non ha senso.
"j18eos":
La domanda è, assunta l'esistenza di una funzione continua e iniettiva \( \displaystyle i:X\hookrightarrow Y \) tale che essa induca un omeomorfismo sull'immagine: esiste una funzione (suriettiva) continua \( \displaystyle r:Y\to X \) tale che \( \displaystyle r\circ i=id_X \)?
Chiaramente no, basta prendere $X=S^1, Y=RR^2$.
"Ancona":
$ \emptyset \to {\emptyset} $
???
"jinsang":
[quote="otta96"]Bonus: dimostrare che in realtà per ogni funzione continua $ f:S^1->RR $ esiste $ x\inS^1 $ tale che $ f(x)=f(-x) $.
Una dimostrazione elementare di ciò:
[/quote]
Anche questa è la dimostrazione che avevo in mente
Quindi c'è un modo di dimostrarlo lo stesso, usando l'omologia?
"otta96":
[...]Io gli ho dato il seguente significato:
[quote]Una funzione \(\displaystyle i:X\to Y\) di spazi topologici è un'immersione se essa è iniettiva e \(\displaystyle X\) è omeomorfo a \(\displaystyle i(X)\).
Forse volevi scrivere che $i$ è un omeomorfismo con l'immagine, è leggermente diverso.[...][/quote]Non vedo questa leggera differenza: puoi spiegarmela. Grazie.
"j18eos":
Non vedo questa leggera differenza: puoi spiegarmela. Grazie.
Credo intendesse che nella tua definizione non c'è scritto che l'omeomorfismo tra $X$ e $i(X)$ è proprio $i$, c'è solo scritto che $X$ e $i(X)$ sono omeomorfi.
Immagino sia stata semplicemente una distrazione
"solaàl":
Quindi c'è un modo di dimostrarlo lo stesso, usando l'omologia?
Non saprei.
"j18eos":
Non vedo questa leggera differenza: puoi spiegarmela. Grazie.
L'omeomorfismo potrebbe essere una funzione diversa.
Il teorema di Borsuk-Ulam si può ricavare dal teorema di Borsuk che dice che ogni mappa continua $f:S^n->S^n$ dispari ha grado topologico dispari (chissà se è per questo motivo che le funzioni dispari si chiamano così), in particolare non nullo e si dimostra con strumenti di omotopia non banali. Questa è la strada è quella che segue il Dugundji, per esempio. Si può però anche dimostrare con l'omologia singolare, ma non so se si passa sempre dal teorema di Borsuk.
"arnett":E' la stessa dimostrazione, con \(\pi_n\).
Non so se si possa fare anche con $\pi_n$.
"otta96":
[...][quote="j18eos"]Non vedo questa leggera differenza: puoi spiegarmela. Grazie.
L'omeomorfismo potrebbe essere una funzione diversa.[/quote]In effetti sì; più in generale, vale per le funzioni biettive.
Esempio. \(\displaystyle\mathbb{N}_{\geq0}\) e \(\displaystyle2\mathbb{N}_{\geq0}\) (l'insieme dei numeri naturali pari) sono insiemi equipotenti, ma la funzione
\[
f:n\in\mathbb{N}_{\geq0}\to\begin{cases}
n\iff n\,\text{è pari}\\
0\iff n\,\text{è dispari}
\end{cases}\in2\mathbb{N}_{\geq0}
\]
è suriettiva non iniettiva.
Non ci avevo mai pensato: grazie di nuovo.
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