[ex] trova la conica tale che...
In un tema d'esame si richiede si trovare una conica con determinate caratteristiche e che abbia come asintoto la retta $x_2 = 1$.
Ecco... non riesco a riconoscere questa retta: non dovrebbe essere un polinomio omogeneo quello che esprime una retta in coordinate omogenee?
Ecco... non riesco a riconoscere questa retta: non dovrebbe essere un polinomio omogeneo quello che esprime una retta in coordinate omogenee?
Risposte
Con $y = 1$ al posto di $x_2 = 1$ l'esercizio, come risultato, viene anche se c'è una cosa su cui ho ancora un dubbio.
Ecco il testo per intero:
Nel piano euclideo reale, in cui sia fissato un riferimento cartesiano, ampliato proiettivamente e complessificato,
i. si determini la conica C avente come asintoto la retta $ a1 : x2 = 1$, centro $C = [1, 0, 1]$, tale che la tangente in $A = [0, 1, 1]$ passi per $C$, e passante per il punto $P = [1, 2, 2]$.
ii. Si determinino gli assi, gli asintoti, nonché la forma canonica metrica di C.
iii. Si abbozzi un grafico di C.
Il prof lo risolve coi fasci (http://www.di.univr.it/documenti/Occorr ... 055937.pdf) ma non li ho ancora fatti, quindi vado di matrici.
Il centro è reale e pure il punto improprio dato $A = [0, 1, 1]$, quindi mi aspetto un'iperbole.
1) Interseco la conica in forma generale $ a_00x_0^2+a_11x_1^2+a_22x_2^2 + 2a_01x_0x_1 + 2a_02x_0x_2 + 2a_12x_1x_2=0 $ con la retta impropria $x_0=0$ e ottengo $a_11x_1^2+a_22x_2^2 + 2a_12x_1x_2=0$. Le coordinate del punto improprio $[0, 1, 1]$ soddisfano tale equazione, quindi ottengo una prima relazione tra i parametri:
$ a_11 +a_22 + 2a_12=0 $.
2) Poi so che il centro è $C = [1, 0, 1]$. Il centro è il polo della retta impropria, cioè:
$(1, 0, 1) ( ( a_00 , a_01 , a_02 ),( a_01 , -2a_12-a_22 , a_12 ),( a_02 , a_12 , a_22 ) ) ( ( 0 ),( x_1 ),( x_2 ) ) = 0 AA x_1,x_2 $
...
Ottengo $a_01 + a_12 = 0$ e $ a_02 +a_22=0$
3) L'asintoto della conica riferito al punto improprio $Q[0, p, q]$ che ancora non conosciamo è la retta che unisce il centro a Q e devo imporla uguale a $y = 1$ (se è così da interpretare il testo), cioè a $(x_0, x_1, x_2)$:
$ ( ( x_0 ),( x_1 ),( x_0 ) )=k ( ( 1 ),(0 ),( 1 ) )+l( ( 0 ),(p ),( q ) ) $
$x_0 = k$
$x_1 = lp$
$x_0 = k + lq$
Se $l =0$ riotteniamo il centro, quindi $l =!0$. Ma allora (risolvendo il sistemino) $q = 0$ e $[0, 1, 0]$ è l'altro punto improprio.
Lo sostituisco nell'equazione $a_11x_1^2+a_22x_2^2 + 2a_12x_1x_2=0$, come ho fatti per il primo punto improprio, e ottengo:
$a_11 = 0$ e $a_22 = -2a_12$.
3) Rimane da imporre il passaggio per $P = [1, 2, 2]$ (non riporto i calcoli).
Alla fine risulta come matrice della conica: $ ( ( 4 , 1 , -2 ),( 1 , 0 , 1 ),( -2 , -1 , 2 ) ) . $
Il risultato è corretto, quindi penso tutto ok, ma mi rimane una domanda. Nel testo dice:
"... tale che la tangente in $A = [0, 1, 1]$ passi per $C$.
Ma le tangenti nei punti impropri (asintoti) non passano sempre per il centro?
Cioè, se il centro è il polo della retta impropria, posso scrivere $x_c^TA((0), (x_1), (x_2)) = 0$.
Il primo membro è uguale al suo trasposto, perché è uno scalare:
$(0, x_1, x_2)Ax_c = 0$
Ma questa scrittura, siccome $(0, x_1, x_2)$ è un punto improprio, mi dice che il centro appartiene alla tangente a un punto improprio, cioè all'asintoto.
E' corretto? C'è uno scherzetto nella domanda o sbaglio qualcosa?
Con le coniche mi è più facile tornare i conti che comprendere il significato geometrico di quello che scrivo. Per esempio, non mi è intuitivo che il centro è il polo della retta impropria, non riesco a vederlo. L'algebra fa diventare ciechi?
Ecco il testo per intero:
Nel piano euclideo reale, in cui sia fissato un riferimento cartesiano, ampliato proiettivamente e complessificato,
i. si determini la conica C avente come asintoto la retta $ a1 : x2 = 1$, centro $C = [1, 0, 1]$, tale che la tangente in $A = [0, 1, 1]$ passi per $C$, e passante per il punto $P = [1, 2, 2]$.
ii. Si determinino gli assi, gli asintoti, nonché la forma canonica metrica di C.
iii. Si abbozzi un grafico di C.
Il prof lo risolve coi fasci (http://www.di.univr.it/documenti/Occorr ... 055937.pdf) ma non li ho ancora fatti, quindi vado di matrici.
Il centro è reale e pure il punto improprio dato $A = [0, 1, 1]$, quindi mi aspetto un'iperbole.
1) Interseco la conica in forma generale $ a_00x_0^2+a_11x_1^2+a_22x_2^2 + 2a_01x_0x_1 + 2a_02x_0x_2 + 2a_12x_1x_2=0 $ con la retta impropria $x_0=0$ e ottengo $a_11x_1^2+a_22x_2^2 + 2a_12x_1x_2=0$. Le coordinate del punto improprio $[0, 1, 1]$ soddisfano tale equazione, quindi ottengo una prima relazione tra i parametri:
$ a_11 +a_22 + 2a_12=0 $.
2) Poi so che il centro è $C = [1, 0, 1]$. Il centro è il polo della retta impropria, cioè:
$(1, 0, 1) ( ( a_00 , a_01 , a_02 ),( a_01 , -2a_12-a_22 , a_12 ),( a_02 , a_12 , a_22 ) ) ( ( 0 ),( x_1 ),( x_2 ) ) = 0 AA x_1,x_2 $
...
Ottengo $a_01 + a_12 = 0$ e $ a_02 +a_22=0$
3) L'asintoto della conica riferito al punto improprio $Q[0, p, q]$ che ancora non conosciamo è la retta che unisce il centro a Q e devo imporla uguale a $y = 1$ (se è così da interpretare il testo), cioè a $(x_0, x_1, x_2)$:
$ ( ( x_0 ),( x_1 ),( x_0 ) )=k ( ( 1 ),(0 ),( 1 ) )+l( ( 0 ),(p ),( q ) ) $
$x_0 = k$
$x_1 = lp$
$x_0 = k + lq$
Se $l =0$ riotteniamo il centro, quindi $l =!0$. Ma allora (risolvendo il sistemino) $q = 0$ e $[0, 1, 0]$ è l'altro punto improprio.
Lo sostituisco nell'equazione $a_11x_1^2+a_22x_2^2 + 2a_12x_1x_2=0$, come ho fatti per il primo punto improprio, e ottengo:
$a_11 = 0$ e $a_22 = -2a_12$.
3) Rimane da imporre il passaggio per $P = [1, 2, 2]$ (non riporto i calcoli).
Alla fine risulta come matrice della conica: $ ( ( 4 , 1 , -2 ),( 1 , 0 , 1 ),( -2 , -1 , 2 ) ) . $
Il risultato è corretto, quindi penso tutto ok, ma mi rimane una domanda. Nel testo dice:
"... tale che la tangente in $A = [0, 1, 1]$ passi per $C$.
Ma le tangenti nei punti impropri (asintoti) non passano sempre per il centro?
Cioè, se il centro è il polo della retta impropria, posso scrivere $x_c^TA((0), (x_1), (x_2)) = 0$.
Il primo membro è uguale al suo trasposto, perché è uno scalare:
$(0, x_1, x_2)Ax_c = 0$
Ma questa scrittura, siccome $(0, x_1, x_2)$ è un punto improprio, mi dice che il centro appartiene alla tangente a un punto improprio, cioè all'asintoto.
E' corretto? C'è uno scherzetto nella domanda o sbaglio qualcosa?
Con le coniche mi è più facile tornare i conti che comprendere il significato geometrico di quello che scrivo. Per esempio, non mi è intuitivo che il centro è il polo della retta impropria, non riesco a vederlo. L'algebra fa diventare ciechi?
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