[EX] Trova base di $\bb V$ (fatto) ed esprimere...
Sia $\bb V$ il sottospazio di $\bb R^3$ generato dai vettori:
$v_1= (2,1,1)$ ; $v_2 = (-1,1,2)$; $v_3 = (3,-2,-1)$ ed infine $v_4 = (4,-1,-2)$
Determinare una base di $\bb V$
I vettorti sono sicuramente linearmente dipendenti. Io ho messo questi vettori in colonna e ho ridotto la matrice a scalini con rango uguale a tre. Quindi i primi tre vettori che ho messo in colonna, oltre ad essere linearmente indipendenti sono una base per $\bb V$ giusto?
Il problema fa un'alta richiesta: esprimere $v_1,v_2,v_3 $ e $v_4$ come combinazione lineare degli elementi di tale base. Non ho capito cosa mi viene richiesto...grazie mille
$v_1= (2,1,1)$ ; $v_2 = (-1,1,2)$; $v_3 = (3,-2,-1)$ ed infine $v_4 = (4,-1,-2)$
Determinare una base di $\bb V$
I vettorti sono sicuramente linearmente dipendenti. Io ho messo questi vettori in colonna e ho ridotto la matrice a scalini con rango uguale a tre. Quindi i primi tre vettori che ho messo in colonna, oltre ad essere linearmente indipendenti sono una base per $\bb V$ giusto?
Il problema fa un'alta richiesta: esprimere $v_1,v_2,v_3 $ e $v_4$ come combinazione lineare degli elementi di tale base. Non ho capito cosa mi viene richiesto...grazie mille
Risposte
Dato un vettore \(\displaystyle v \) e una base \(\displaystyle \{b_1, b_2, b_3\} \) allora \(\displaystyle v = \sum_{i=1}^3 \alpha_i b_i \) è l'espressione di \(\displaystyle v \) come combinazione lineare dei vettori della base.
Definiamo \(\displaystyle \mathbf{W} \) il sottospazio di base \(\displaystyle \{(1,2,0), (1,0,1) \}\). Allora il vettore \(\displaystyle (4,4,2) \) è espresso come \(\displaystyle 2(1,2,0) + 2(1,0,1) \). Siccome \(\displaystyle \{(2,2,1), (0,1,-1) \}\) è un'altra base di \(\displaystyle \mathbf{W} \) posso esprimere \(\displaystyle (4,4,2) \) anche come \(\displaystyle 2(2,2,1) \).
Per la prima domanda prova a pensare se le operazione di riduzioni mantengono le colonne in \(\displaystyle \mathbf{V} \) o meno. La risposta alla tua domanda risiede nella particolare forma delle operazioni che tu fai alle colonne.
Definiamo \(\displaystyle \mathbf{W} \) il sottospazio di base \(\displaystyle \{(1,2,0), (1,0,1) \}\). Allora il vettore \(\displaystyle (4,4,2) \) è espresso come \(\displaystyle 2(1,2,0) + 2(1,0,1) \). Siccome \(\displaystyle \{(2,2,1), (0,1,-1) \}\) è un'altra base di \(\displaystyle \mathbf{W} \) posso esprimere \(\displaystyle (4,4,2) \) anche come \(\displaystyle 2(2,2,1) \).
Per la prima domanda prova a pensare se le operazione di riduzioni mantengono le colonne in \(\displaystyle \mathbf{V} \) o meno. La risposta alla tua domanda risiede nella particolare forma delle operazioni che tu fai alle colonne.
Un attimo, siccome dei quattro vettori iniziali, per determinare la base, ne ho dovuto scartare uno, $v_4$ lo devo scrivero come combinazione lineare degli altri?
Per la prima domanda, so che se agendo sulle righe è come se distruggessi le colonne, però la prof ha detto che si può fare, l'importante è che i vettori che scriviamo indipendenti, sono quelli di partenza che si trovano sui pivots, dopo aver usato Gauss...
Per la prima domanda, so che se agendo sulle righe è come se distruggessi le colonne, però la prof ha detto che si può fare, l'importante è che i vettori che scriviamo indipendenti, sono quelli di partenza che si trovano sui pivots, dopo aver usato Gauss...
Non ne devi scartare uno: puoi ridurre per anche matrici non quadrate. E a rigore non stai proprio lavorando su una matrice quindi non parlerei di Gauss.
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