[EX] svolto, riduzione gauss si può scambiare colonne?

[smaug1]

Quello che vi chiedo è: perchè ha scambiato la prima colonna con la quarta? è lecito?

Quindi il rango della matrice incompleta è sempre 3. Il sistema è risolubile solo se i ranghi della matrice incompleta con quella completa sono uguali, quindi a 3. Ciò è possibile se e solo se si annulla $k-1$ perchè se si annullasse $k+2$ avrei un sistema impossibile. Quindi $k \ne 1$

Comunque è necessario riscambiare le colonne prima di trovare la soluzione giusto? forse ai fini del calcolo del rango è indifferente...mi spiegate questo per favore?

Grazie

[Quinzio]

Quindi $k=1$ per avere un sistema risolubile. Ti torna ?

Puoi scambiare due colonne è chiaro che scambi anche l'ordine degli elementi del vettore incognito.
Cioè invece di trovare $(x_1,x_2,x_3,x_4)$, se scambi la prima e l'ultima colonna troverai $(x_4,x_2,x_3,x_1)$

Ai fini del calcolo del rango è indifferente. Prendi una matrice 4x4 rango 3 e scambia le righe non nulle. Cambia il rango ?

[smaug1]

Si mi trovo, quindi per ogni $k$ diverso da 2?...però ai fini del calcolo delle soluzioni mi devo riscambiare le colonne, quindi devo tornare alle colonne originarie...?

[Quinzio]

Gurda l'ultima matrice dell'esercizio svolto.
La terza riga dice che $(k-1)x_4=0$
Qui hai due opzione per far tornare i conti.
O metti $k-1=0$ oppure $x_4=0$.
Se prendi $x_4=0$ dopo devi considerare la 4^ riga che dice: $(k+2)x_4 = 1$ e sei nei pasticci, non funziona.
Quindi $k=1$

però ai fini del calcolo delle soluzioni mi devo riscambiare le colonne, quindi devo tornare alle colonne originarie...?

Alla fine quando hai il vettore delle soluzioni, scambi gli elementi come avevi scambiato le righe.