[EX] Spazio Vettoriale delle Parti di un Insieme
Per festeggiare i miei primi [tex]$2000$[/tex] messaggi ecco un esercizio di algebra lineare, che io considero classico e raro.
Siano [tex]$(\mathbb{Z}_2,+,\cdot)$[/tex] il campo di ordine [tex]$2$[/tex] (*), [tex]$\Omega$[/tex] un insieme e [tex]$\mathcal{P}(\Omega)$[/tex] l'insieme dei suoi sottoinsiemi (parti di [tex]$\Omega$[/tex]).
Richiamato che la somma disgiunta o differenza simmetrica [tex]$\Delta$[/tex] tra sottoinsiemi [tex]$X$[/tex] ed [tex]$Y$[/tex] di [tex]$\Omega$[/tex] è l'insieme [tex]$X\Delta Y=(X\cup Y)-(X\cap Y)=(X-Y)\cup(Y-X)$[/tex], sia [tex]$\forall Z\in\mathcal{P}(\Omega),\,1\cdot Z=Z,\,0\cdot Z=\emptyset$[/tex]:
1) dimostrare che [tex]$(\mathcal{P}(\Omega),\Delta;\mathbb{Z}_2,\cdot)$[/tex] è uno spazio vettoriale;
2) se [tex]$\Omega$[/tex] fosse finito determinarne una base;
3) se [tex]$\Omega$[/tex] fosse infinito dimostrare che l'insieme delle sue parti finite [tex]$\mathcal{P}_f(\Omega)$[/tex] n'è un sottospazio e determinarne una base;
4) [tex]$(\mathcal{P}_f(\mathbb{N}_0),\Delta;\mathbb{Z}_2,\cdot)$[/tex] e [tex]$(\mathbb{Z}_2[x],+;\mathbb{Z}_2,\cdot)$[/tex] sono isomorfi? Se sì costruire un isomorfismo.
§§§
(*) Questo è un richiamo per cui lo metto in spoiler.
Siano [tex]$(\mathbb{Z}_2,+,\cdot)$[/tex] il campo di ordine [tex]$2$[/tex] (*), [tex]$\Omega$[/tex] un insieme e [tex]$\mathcal{P}(\Omega)$[/tex] l'insieme dei suoi sottoinsiemi (parti di [tex]$\Omega$[/tex]).
Richiamato che la somma disgiunta o differenza simmetrica [tex]$\Delta$[/tex] tra sottoinsiemi [tex]$X$[/tex] ed [tex]$Y$[/tex] di [tex]$\Omega$[/tex] è l'insieme [tex]$X\Delta Y=(X\cup Y)-(X\cap Y)=(X-Y)\cup(Y-X)$[/tex], sia [tex]$\forall Z\in\mathcal{P}(\Omega),\,1\cdot Z=Z,\,0\cdot Z=\emptyset$[/tex]:
1) dimostrare che [tex]$(\mathcal{P}(\Omega),\Delta;\mathbb{Z}_2,\cdot)$[/tex] è uno spazio vettoriale;
2) se [tex]$\Omega$[/tex] fosse finito determinarne una base;
3) se [tex]$\Omega$[/tex] fosse infinito dimostrare che l'insieme delle sue parti finite [tex]$\mathcal{P}_f(\Omega)$[/tex] n'è un sottospazio e determinarne una base;
4) [tex]$(\mathcal{P}_f(\mathbb{N}_0),\Delta;\mathbb{Z}_2,\cdot)$[/tex] e [tex]$(\mathbb{Z}_2[x],+;\mathbb{Z}_2,\cdot)$[/tex] sono isomorfi? Se sì costruire un isomorfismo.
§§§
(*) Questo è un richiamo per cui lo metto in spoiler.
Risposte
Carino, trovato per caso: lo "uppo" e provo a farlo.
1. Tra le proprietà da verificare per $P(Omega)$ spazio vettoriale, l'associativa $(X \Delta Y)\Delta Z =..... $ l'ho verificata con le tavole di verità. C'era un metodo meno barboso?
2,3. Sia nel caso in cui $\Omega$ è finito che infinito, risponderei che $P(Omega)$ è infinitamente generato e una sua base è $ B={ {h} t.c. h \in Omega}$
Es. per capire: posso scrivere $ {a, b} \in P(\Omega) $ come combinazione lineare di {a} e {b}. Infatti $1{a}\Delta1{b}={a,b}-\Phi={a,b}$. Analogamente per tutti i sottoinsiemi finiti di $\Omega$.
4. Potrei associare a ogni sottoinsieme {n1, n2...nk} di N il polinomio $x^(n1)+x^(n2)...+x^(nk)$ e viceversa.
1. Tra le proprietà da verificare per $P(Omega)$ spazio vettoriale, l'associativa $(X \Delta Y)\Delta Z =..... $ l'ho verificata con le tavole di verità. C'era un metodo meno barboso?
2,3. Sia nel caso in cui $\Omega$ è finito che infinito, risponderei che $P(Omega)$ è infinitamente generato e una sua base è $ B={ {h} t.c. h \in Omega}$
Es. per capire: posso scrivere $ {a, b} \in P(\Omega) $ come combinazione lineare di {a} e {b}. Infatti $1{a}\Delta1{b}={a,b}-\Phi={a,b}$. Analogamente per tutti i sottoinsiemi finiti di $\Omega$.
4. Potrei associare a ogni sottoinsieme {n1, n2...nk} di N il polinomio $x^(n1)+x^(n2)...+x^(nk)$ e viceversa.
1 Qualcuno qui sul forum ha risolto mediante le funzioni caratteristiche[nota]Non trovo la discussione. 
[/nota] come d'altronde si fa in teoria della misura; io preferisco provarla con la tecnica della doppia inclusione.
2 Sbagliata.
3 Corretta.
4 Proof please.
[/nota] come d'altronde si fa in teoria della misura; io preferisco provarla con la tecnica della doppia inclusione.2 Sbagliata.
3 Corretta.
4 Proof please.
2)
ho sbagliato: Ω è finito!
Anche qui è sbagliato, o solo sopra?
4)
Mi sa che mancava anche un pezzo: davo per scontato che, trovata la corrispondenza biunivoca, avessimo anche l'isomorfismo, ma questo si può dire solo quando i due spazi hanno la stessa dimensione finita. Quindi riprovo:
Gli elementi di $P_f$ $(N_0)$ sono del tipo $X = {n_1, ..., n_i, ... n_a}$
Posso associare a X un polinomio a coefficienti in $Z_2$:
$f: {n_1, ..., n_i, ... n_a} \mapsto x^(n_1)+x^(n_2)...+x^(n_a)$.
Viceversa, a un polinomio in $Z_2$ posso associare il sottoinsieme di N che contiene gli esponenti dei termini non nulli ($f^(-1)$).
Devo però ancora far vedere che $f$ è un'applicazione lineare:
1) verificare che $\forall X, Y \in P(X), f(X \Delta Y) = f(X) - f(Y)$
$X = {n_1, ..., n_i, ..., n_j, n_a} \mapsto x^(n_1) +... + x^(n_i) + ... + x^(n_j) + ... + x^(n_a)$
$Y = {n_i, ..., n_j, ... n_b} \mapsto x^(n_i) +... + x^(n_j) + ... x^(n_b)$
$f(X \Delta Y) = {n_1, ..., n_(i-1), n_(j+1), ..., n_b} \mapsto x^(n_1)+... + x^(n_(i-1)) + x^(n_(j+1)) + ... + x^(n_b)$
$f(X) - f(Y) $ = ... (i termini opposti si "annullano") = $f(X \Delta Y)$
Però quel "meno " che ho messo in $f(X) - f(Y)$ non mi convince, forse ho fatto una cavolata.
2) $1f(X) = 1(x^(n_1) + ....) = f(1X)$
$0f(X) = 0 = f(\Phi) = f(0X)$
"j18eos":
2) se Ω fosse finito determinarne una base;
"jitter":
risponderei che P(Ω) è infinitamente generato...
ho sbagliato: Ω è finito!
... e una sua base è B={{h}t.c.h∈Ω}
Anche qui è sbagliato, o solo sopra?
4)
"jitter":
Potrei associare a ogni sottoinsieme {n1, n2...nk} di N il polinomio xn1+xn2...+xnk e viceversa.
"j18eos":
4 Proof please.
Mi sa che mancava anche un pezzo: davo per scontato che, trovata la corrispondenza biunivoca, avessimo anche l'isomorfismo, ma questo si può dire solo quando i due spazi hanno la stessa dimensione finita. Quindi riprovo:
Gli elementi di $P_f$ $(N_0)$ sono del tipo $X = {n_1, ..., n_i, ... n_a}$
Posso associare a X un polinomio a coefficienti in $Z_2$:
$f: {n_1, ..., n_i, ... n_a} \mapsto x^(n_1)+x^(n_2)...+x^(n_a)$.
Viceversa, a un polinomio in $Z_2$ posso associare il sottoinsieme di N che contiene gli esponenti dei termini non nulli ($f^(-1)$).
Devo però ancora far vedere che $f$ è un'applicazione lineare:
1) verificare che $\forall X, Y \in P(X), f(X \Delta Y) = f(X) - f(Y)$
$X = {n_1, ..., n_i, ..., n_j, n_a} \mapsto x^(n_1) +... + x^(n_i) + ... + x^(n_j) + ... + x^(n_a)$
$Y = {n_i, ..., n_j, ... n_b} \mapsto x^(n_i) +... + x^(n_j) + ... x^(n_b)$
$f(X \Delta Y) = {n_1, ..., n_(i-1), n_(j+1), ..., n_b} \mapsto x^(n_1)+... + x^(n_(i-1)) + x^(n_(j+1)) + ... + x^(n_b)$
$f(X) - f(Y) $ = ... (i termini opposti si "annullano") = $f(X \Delta Y)$
Però quel "meno " che ho messo in $f(X) - f(Y)$ non mi convince, forse ho fatto una cavolata.
2) $1f(X) = 1(x^(n_1) + ....) = f(1X)$
$0f(X) = 0 = f(\Phi) = f(0X)$
Armando, sai dove posso trovare esercizi di algebra lineare interessanti*, tipo questo?
* fino all'argomento applicazioni lineari
* fino all'argomento applicazioni lineari
La base è quella, però gradirei vedere la dimostrazione completa del punto 3.
Non ho capito la dimostrazione della linearità di quell'applicazione; e inoltre sei sul campo \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\)...
Per cronaca questo esercizio me lo sono inventato; lo \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\)-spazio vettoriale dell'insieme delle parti di un insieme l'ho trovato sul III volume di Pasini Elementi di Algebra Lineare e Geometria (?), ma gli esercizi non mi piacciono :-S
Non ho capito la dimostrazione della linearità di quell'applicazione; e inoltre sei sul campo \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\)...
Per cronaca questo esercizio me lo sono inventato; lo \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\)-spazio vettoriale dell'insieme delle parti di un insieme l'ho trovato sul III volume di Pasini Elementi di Algebra Lineare e Geometria (?), ma gli esercizi non mi piacciono :-S
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